四題錯二題一共有4C2種可能: e.g. 1-2, 1-3, 1-4, 2-3, 2-4, 3-4 (六種錯誤方式)
二題錯誤共有2 ! 種排列方式 : e.g. 1-2 或是 2-1
而這 2! 種錯誤方式為等效: e.g. 甲先錯1再錯2 的結果, 和乙先錯2再錯1的結果是一樣的.
甲乙二人皆為四題錯二題, 所以四題中至少有一人對的機率 ?
至少有一人對的機率 = 1 - 二人皆錯的機率 = 1 - (2! ) / (4C2) = 1 - (2) / (4*3)/ (1*2) = 1 - 1/3 = 2/3

同理可知 :
十題錯三題一共有10C3種可能 , 三題錯誤共有3 ! 種排列方式 .
而這3 ! 種排列方式皆為等效 . e.g. 甲 1-2-3 = 乙1-3-2 = 乙2-1-3 =乙 2-3-1 = 乙3-1-2 = 乙3-2-1
因為甲乙二人皆為十題錯三題, 所以十題中至少有一人對的機率 ?
至少有一人對的機率 = 1 - 二人皆錯的機率 = 1 - (3! ) / (10C3) = 1 - (1*2*3) / (10*9*8)/ (1*2*3) = 1 - 36/720 = 1 - 1/20 = 0.95

所以十題中任意一題至少有一人對的機率大概是 0.95

二人皆錯的機率 = (2! ) / (4C2)
錯誤！分母考慮組合，分子卻考慮排列！？

而且發生錯兩題中，有兩人皆錯的情形機率為= 5/6

YOU WIN!!

我順便來補充一下，
nzcym 兄
"至少有一人對的機率 = 1 - 二人皆錯的機率"
那“二人只有一題錯一樣”的機率呢？“二人有兩題錯一樣”呢？
是不是少考慮這些了？

我想我之前的解法，應該是夠簡單明白了
有人覺得難是因為把問題覆雜化
何必把問題搞得這麼覆雜

此外，用機率去算容易犯錯，還不如回歸基本，(條件數/所有可能)---忘了專有名詞

上一篇的答案的確有誤 , 所以再來賤狗數學一下好了 .

A. 先簡化問題發展模型
假設甲是四題錯二題 , 乙是四題錯三題, 請問任意一題中至少有一人答對之機率 .

四題錯二題一共有4C2種可能: e.g. 1-2, 1-3, 1-4, 2-3, 2-4, 3-4 (甲有六種可能的錯誤方式)
四題錯一題一共有4C3種可能: e.g. 1-2-3, 1-2-4, 1-3-4, 2-3-4 (乙有四種可能的錯誤方式)

甲乙二人總共有 [4C2] * [4C3] 種可能的錯誤方式 , 所以甲乙二人總共可以產生 (二十四種錯誤方式的組合)
而這四題中兩人皆錯相同二題總共有 4P2 種錯誤排列方式 : e.g. (甲乙皆錯1,2) 甲1-2 乙 1-2-3 , 甲1-2 乙 1-2-4 ,

甲是四題錯二題, 乙是四題錯三題 , 所以四題中的任意一題至少有一人對的機率 ?
至少有一人對的機率 = 1 - 二人皆錯的機率 = 1 - (4P2) / (4C2)*(4C3) = 1 - (4*3) / [(4*3)/ (1*2)*(4*3*2)/(1*2*3)] = 1 - 12/24 =

1/2

驗證:
甲乙共有 甲(1-2, 1-3, 1-4, 2-3, 2-4, 3-4) * 乙( 1-2-3, 1-2-4, 1-3-4, 2-3-4) = 總共只有二十四種可能的錯誤圖樣
甲乙二人的錯誤中有兩題是完全重疊的總共只有十二種錯誤圖樣
甲(1-2) 乙(1-2-3), 甲(1-2) 乙(1-2-4)
甲(1-3) 乙(1-2-3), 甲(1-3) 乙(1-3-4)
甲(1-4) 乙(1-2-4), 甲(1-4) 乙(1-3-4)
甲(2-3) 乙(1-2-3), 甲(2-3) 乙(2-3-4)
甲(2-4) 乙(1-2-4), 甲(2-4) 乙(2-3-4)
甲(3-4) 乙(1-3-4), 甲(3-4) 乙(2-3-4)
甲乙二人的錯誤中有一題是完全重疊的總共只有十二種錯誤圖樣
甲(1-2) 乙(1-3-4), 甲(1-2) 乙(2-3-4)
甲(1-3) 乙(1-2-4), 甲(1-3) 乙(2-3-4)
甲(1-4) 乙(1-2-3), 甲(1-4) 乙(2-3-4)
甲(2-3) 乙(1-2-4), 甲(2-3) 乙(1-3-4)
甲(2-4) 乙(1-2-3), 甲(2-4) 乙(1-3-4)
甲(3-4) 乙(1-2-3), 甲(3-4) 乙(1-2-4)

是故在題目給定的限制條件之下, 任意一題至少有一人對的機率為 1/2

B. 利用上述之簡化模型來賤狗(預測)落點 .
同理可知 : 十題錯三題一共有10C3種可能 , 十題中有三題完全重疊的錯誤方式共有10P3 種 .
因為甲乙二人皆為十題錯三題, 所以十題中至少有一人對的機率 ?
至少有一人對的機率 = 1 - 二人皆錯的機率 = 1 - (10P3) / [(10C3)*(10C3)] = 1 - (10*9*8)/ [10*9*8/1*2*3]^2 = 1 - 720/14400 = 1 - 1/20 = 0.95

P.S. 歪打正著須左乃右還是別亂練 . 走火入魔就沒救了 .

你又犯錯了，分母用組合，分子用排列

只是你運氣又剛好不錯，答案還是一樣，

但是題目改多一點，你就一定答錯

努力吧！

甲是四題錯二題, 乙是四題錯三題 , 所以四題中的任意一題至少有一人對的機率 ?
機率=0

-------刪----------

haha, you win again

一時失誤

nzcym的想法少了一個東西
你考慮到"兩個都錯"
卻少了"兩個人只錯同一題的組合"
例如甲錯"1-2" 乙錯"1-3"
這種情形不符合"每題至少有人答對"的情形
可是你卻把它算進去了
OQFOQF是高手
簡單明暸