其實1/2並不是錯誤的答案,是一堆人誤解了1/2所代表的意義,
原因在於其所指的機率不是P(you win the car if you switch) or P(you win the car if you don't switch),
1/2的意義是P(you win the car),且必須是在無記憶性的情況下,
無記憶性狀況是指你每次找來實驗的人前後不會相互干預對方的選擇,
其[換]與[不換]是隨機選擇,故P(換)=P(不換)=1/2,
在此狀態下可得到
P(you win the car if you switch)=2/3,
P(you win the car if you don't switch)=1/3,
所以得到[換]比[不換]有更高的機會win the car,
到這裡是原題意的解法,所以題意是換比較有利

所以請注意到一點以上是利用[機率來推估決策]


但是為何會有1/2這個機率出現,
這是利用P(A)= [P(B1)P(A|B1)]+[P(B2)P(A|B2)]

A指you win the car,
B1指you switch
B2指you don't switch

所以
P(you win the car)=P(you win the car if you switch)*P(you switch)+P(you win the car if you don't switch)*P(you don't switch)=1/2

所以結論是如果是以隨機的方式選擇換不換門,
參加者參與這個遊戲有1/2的機會會得到汽車


現在在說明另一種狀況
作者david5598
這樣我們來比一比, 每次我都選擇換,
那你呢, 就看你爽不爽,爽就換，不爽就不換.
這樣我們各玩個1億次,
你覺得最後誰得到的車子數比較多?
我覺得我大概可以得到 6千6百萬輛, 你大概可以得到5千萬輛.
奇怪, 為什麼我得到的車子比你多?

為何[一直選換]會比[隨機]來的多,
其原因在於這是用決策去推估期望值(期望值=機率*實驗次數)
為何說是用決策去推估,
在於P(換)與P(不換)的機率已經改變,
因為是[一直選換]所以P(換)=1,P(不換)=0,
所以
P(you win the car)=P(you win the car if you switch)*P(you switch)+P(you win the car if you don't switch)*P(you don't switch)=2/3*1+1/3)*0=2/3,
E(numbers of car)=100M*2/3=66M

[一直選換]的機率高於[隨機]的機率,
重點在於[一直選換]是在你以了解選[換]這個決策會比較好的條件下才會發生,

如以直接的說法就是,

現在找來一批群眾分為AB兩群,A,B兩群各有人數10K,
A群是在不知道[換]或[不換]的中獎機率差異下參與遊戲,
所以選擇[換]或[不換]為隨機分配,所以P(換)=P(不換)=1/2,
最後E(numbers of people win the car)=5K,

B群在遊戲開始前主持人先告知[換]比[不換]容易中獎,
所以全部的人都選擇[換]門,
這時P(換)=1,P(不換)=0,
所以最後E(numbers of people win the car)=6.6K

之所以會有差異是在於遊戲的條件不同,而影響機率

最後如果當門數延伸為n扇,第一次選擇後主持人打開(n-2)扇沒有汽車的門,
這時
P(you win the car if you switch)=(n-1)/n,
P(you win the car if you don't switch)=1/n,
但是P(you win the car)依舊是等於
P(you win the car if you switch)*P(you switch)+P(you win the car if you don't switch)*P(you don't switch)
如果是隨機選擇,
則P(you win the car)=1/2,
但如是選擇[一直換]
則P(you win the car)=(n-1)/n

所以1/2,2/3,1/3,是指不同的條件下的中獎機率,互相並不衝突,
1/2是指無限次實驗隨機選擇下的中獎機率,且中獎的原因中有2/3是選擇換,1/3是選擇不換,
2/3是指在無限次實驗下一直選換的中獎機率,
1/3是指在無限次實驗下一直選不換的中獎機率,