不知道您有沒有仔細看：
她要補送之前有問過樓主這個主管。<--- 做法正確，表示她也知道規定，她並沒有越權。
樓主回答半開玩笑造成誤解。 <--- 怎麼看都不太對，就算是不送，也要明確表示不行。

接下來的處理方式又是集合宣導指名，這樣是不是讓她在同儕之間難以立足。

為什麼批評的聲浪一面倒不是沒有原因的。
當然我不直接批評，每個人做事方法不同，只是覺得這樣的處理方式不是很妥當而已。
我們都是局外人，還是需要樓主出面解釋。
我只能小小的建議，不要扯破臉是最好的，更希望能化干戈為玉帛，不然今天她不做了，將來私底下會怎樣形容樓主，我大概也猜得出來，而且她是樓主朋友介紹的，樓主這一步可能會失去好幾個人的友誼，不可不慎啊！