你這個問題，約10年前我有寫過一個程式處理這種問題，當時是用f77 寫的不過當時我是用圓去包，但你現在是正方形。分享一下我的想法 (我的作法不能保證一定是最少)，但你上面的例子我一定是3個就框住了。

我的想法如下:

(1) 先把圖形切成非常細的小方格 (越細就會找的越準)

(2) 有被小長方形包住的地方就定為1，沒包到的就定為0

(3) 找尋合適的中心位置，把你要框的130x130正方形放上去，計算範圍內的1的數目，累加數字越大的那個位置就蓋上去。

這個合適的中心位置，可以
(i) 自己寫程式判斷，哪邊長方形比較密集，就從那邊開始放正方形
(ii) 無腦的就scan每個格點。(以這個例子來說最多僅需要scan 140625個位置)

(4) 蓋上去後把被蓋住的數值寫成0，然後重複(3) 直到全部都變成0。

我自己原來是用 (3)-(i)， 一開始想說從質心附近開始找，但遇到資料極端分散的情形，就失敗。後來有一陣子我想說只計算每個長方形方格的幾何中心間的距離，每次都從距離平方和最小數值的那個位置附近來找。 後來我趁空閒時也寫了一個用 (3)-(ii)的方式，(Scan格點的時候不用太密集)，但是找到大約位置後要記得也再附近找一下。

整個概念就是把圖形用"0或1的點"來表示，放上去的130x130的正方形能包住的點越多，就越優先把他放上去，並把那些點都擦掉，然後再重複找。

你參考參考吧

500*500的2D空間，用130*130的框框，如果是整數座標，那就會有(500-130+1)*(500-130+1)=137641個框框(w0, w1,..., w137640)。

然後每個框框都檢查會框住哪幾些個矩形(r0, r1,...rN)，記錄起來。

那我們就有了類似下面的資料：
w0(r1, r4, r15,...)
w1(r0, r3, r4,...)
...
...
w137640(r13, r19,...)

我們希望用最少的框框就包到所有的矩形，
所以我們先只取一個框框，這樣有137641種狀況，檢查哪個滿足(r0, r1,...rN)都有包到。
若取一個找不到，就取二個框框，這樣有C(137641, 2)種狀況，檢查哪個組合滿足(r0, r1,...rN)都有包到。
若取二個找不到，就取三個框框，這樣有C(137641, 3)種狀況，檢查哪個組合滿足(r0, r1,...rN)都有包到。
...
...

我保證這個演算法一定找得到最佳解，但要花多久時間就...

比較沒有具體的搜尋方法....
因為這樣靠電腦分析怎麼圈比較多好像沒辦法


這樣寫再強的電腦都會掛掉吧

參考方法

先由
50個矩形中任取50個看可不可以用一個正方形包住。
50個矩形中任取49個看可不可以用一個正方形包住。
50個矩形中任取48個看可不可以用一個正方形包住。
50個矩形中任取47個看可不可以用一個正方形包住。
....照這樣一直下去，直到找該正方形。

接下來把剛剛有包住的矩形標記刪除，還沒標記的繼續照這個流程下去跑。
但這只是可以找到一組解而已，是不是最低解需要數學來證明。

我覺得這方式是可行的。
如果是我來寫，我大概也會寫成這樣，先割成小方格，然後再找出所有的點。
重點是算出各群聚的中心點，這部份可以用到類似 neural network 其中的 SOM 演算法來找出群聚中心點。

實際想想不是最佳解~錯了

最少要幾個的最佳解我想可以這樣算
以2D系統的Y座標來看
將所有的小方塊的長(Y1, Y2)看可以用多少130來涵蓋
這個用總長/130來算即可，有小數就進位
X座標也相同處理寬的部分

兩個的計算值相乘應該是最小解
實際要算出框起來的位置，就基植於上面的結果來處理應該就可以算出來

我很初步的在腦袋裡運算過感覺應該是這樣吧