先簡單回答你.如果有興趣.自己從和角公式開始看應該懂了

a/√a2+b2為什麼可以表成cosθ .b/√a2+b2為什麼可以表成sinθ

你注意看(a/√a2+b2)^2+(b/√a2+b2)^2=1 如果我將這個視為座標點.那所有點的集合式一個單位圓.這沒問題吧?

圓上一點與圓心連線.可以形成三角形(不要問我為什麼= =".動手畫個圖)

則必然可以找到一個三角形.底是a 高是b 斜邊是√a2+b2

所以你的cosθ 不就是a/√a2+b2了嘛?.sin的情況就不說了

a/√a2為什麼不表示成sinθ
如果你能拉出一個圓.或是三角的關係.你就可以這樣表示.加油!期待你找這個答案.我很也很期待(我認真的)


b/√a2+b2為什麼不表示成cosθ

當然可以表示成cosθ !!!在那個單位圓中.你也可以找到一個三角形.底是b.高是a 斜邊是√a2+b2 這樣你的b/√a2+b2不就成了你想要的cosθ 了嘛


先回過頭來想為什麼你要把a/√a2+b2表成cosθ .b/√a2+b2表成sinθ
因為你想要利用和角公式.cosθsinx+sinθcosx.將原式轉換為sin(x+θ)所以才在單位圓上選定一個θ角度.組合出你要的sinθ跟cosθ對吧?

所以a/√a2+b2表成cosθ .b/√a2+b2表成sinθ不是數學上證明成這樣.是你這位演算者故意選擇的結果!要注意兩者個因果關係

至於後面一個問題

y=asinx+bcosx是否可以表示成y=rcos(x-Φ)的形式

如果可以的話那它與y=rsin(x+θ)有何關聯性?

讓我有一種感覺.其實你根本就知道答案.只是故意來考鄉民的

和角公式另一條

cos(x-θ)=sinθsinx+cosθcosx
比較一下剛剛的
sin(x+θ)=cosθsinx+sinθcosx


注意到了嘛?兩者的差別正好是你問得a/√a2+b2表成cosθ 或是sinθ的差別對吧?

只要你在單位圓上的角度適當選取.兩種疊合都是成立的!

會這樣說是因為你舉的例子實在漂亮的過分.如果你問的時cos(x+θ)我還不會有這麼多想法

某種層次上也要謝謝你ˋ幫我復習高中數學 ?
(雖然是剛剛一邊洗頭一邊想到的啦....)


隨手寫寫有錯請鞭

(a/√a2+b2)^2+(b/√a2+b2)^2=1^2

斜邊長應該是1不是√a平方+b平方

底為a/√a平方+b平方 ,高為(b/√a平方+b平方)

不是a和b

cosθ 是a/√a2+b2除以1 sinθ為b/√a2+b2除以1


cosθ=sin(θ+π/2)

sinθ=cos(θ-π/2)

sin波和cos波相角相差90度振幅一樣

y=asinx+bcosx=rsin(x+θ)=rcos(x+θ-π/2)


我看南一課本和三民自修寫的是單位圓

和代數證出cosθ~

就沒看過有用直角三角型證的~

反正記得一件事情
"頻率相同"的弦波不管怎麼加
都會是原來"頻率"的弦波
相位跟振幅不同而已

如果想知道一切原因的源頭
就是cos(wt) 跟 sin(wt) 互相是垂直(正交)的
所以兩者相加 會產生新的弦波
但是加法運算"基底"(可以當做是元素)並無改變 所以頻率不會改變

要弄懂以上文字 需要下列知識
1. 微積分
2. 向量空間 (線性代數)
3. 複數
4. 傅立葉積分

如果僅有三角函數等知識 (例如高中課程)
就只能用您寫的證明法去證明 雖然殊途同歸
但是就是難懂了些

希望有點幫助囉~~