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joe2001
Senior Member
 

加入日期: Dec 2001
您的住址: 原始林裡
文章: 1,146
Question 為什麼微分後的導數,剛好是函數的某點切線斜率?

我已經問過許多高微拿高分的同學,得到的答案都是 - 這是證明的結果。

但我不是問這個,證明我懂得。

以 y= x^3 這個函數為例,
我的意思是,

為什麼 x*x*x ,他的某點以極限逼近的改變率,剛好是 x+x+x ?

為什麼有這麼巧的事情?
     
      
__________________
兩千三百萬人,365天如果都重複使用環保筷,一年可以解救台灣以及東南亞15萬棵樹木或是竹子。為美麗的台灣,謝謝您!

南瓜爸在越南 http://joe2001.pixnet.net/blog

此文章於 2019-11-01 11:06 PM 被 joe2001 編輯.
舊 2019-11-01, 11:00 PM #1
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joe2001離線中  
freaky
Advance Member
 

加入日期: Jan 2002
文章: 449
引用:
作者joe2001
我已經問過許多高微拿高分的同學,得到的答案都是 - 這是證明的結果。

但我不是問這個,證明我懂得。

以 y= x^3 這個函數為例,
我的意思是,

為什麼 x*x*x ,他的某點以極限逼近的改變率,剛好是 x+x+x ?

為什麼有這麼巧的事情?


恕我愚昧,微分和導數有何不同?微分的導數指的是二階導數?
x^3的導函數應該是3x^2?
 
舊 2019-11-01, 11:08 PM #2
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freaky離線中  
joe2001
Senior Member
 

加入日期: Dec 2001
您的住址: 原始林裡
文章: 1,146
引用:
作者freaky
恕我愚昧,微分和導數有何不同?微分的導數指的是二階導數?
x^3的導函數應該是3x^2?


抱歉,少寫了。

改成:

以 y= x^3 這個函數為例,
我的意思是,

為什麼 x*x*x ,他的某點以極限逼近的改變率,剛好是 x^2+x^2+x^2 ?

為什麼有這麼巧的事情?
__________________
兩千三百萬人,365天如果都重複使用環保筷,一年可以解救台灣以及東南亞15萬棵樹木或是竹子。為美麗的台灣,謝謝您!

南瓜爸在越南 http://joe2001.pixnet.net/blog
舊 2019-11-01, 11:37 PM #3
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joe2001離線中  
LinJoy
Amateur Member
 
LinJoy的大頭照
 

加入日期: Feb 2005
文章: 40
https://www.youtube.com/watch?v=S0_qX4VJhMQ
或許這個課程章節可以解答你的問題
__________________
LinJoy.
舊 2019-11-01, 11:54 PM #4
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LinJoy離線中  
又見阿鳥
Major Member
 

加入日期: Apr 2017
文章: 136
舊 2019-11-02, 12:03 AM #5
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又見阿鳥離線中  
joe2001
Senior Member
 

加入日期: Dec 2001
您的住址: 原始林裡
文章: 1,146
謝謝大家的分享,時間不夠,我先看第一個影片。第二個要明天才能看。

第一個影片,我知道他想用幾何來表達。

但是,一個立體體積的變化,剛好等於三個面的面積變化的和?
其實不正確,因為他的圖中,三個面積,其實要算是體積的,只是有一邊是1。而且他把某個微小值捨去。

對這個方程式來說,

X^3 的導數,剛好等於 X^2+X^2+X^2。不多不少,沒有捨去的微小值。

還是我看錯他的說法?
舊 2019-11-02, 07:54 AM #6
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joe2001離線中  
oversky.
Junior Member
 

加入日期: Feb 2013
文章: 765
引用:
作者joe2001
對這個方程式來說,
X^3 的導數,剛好等於 X^2+X^2+X^2。不多不少,沒有捨去的微小值。
還是我看錯他的說法?


應該說導數的「定義」,是斜率公式取極限

y = f(x) = x^3
f'(x) = lim Δy / Δx

Δy / Δx
= [(x+Δx)^3 - x^3] / Δx
= [ x^3 + 3x^2 Δx + 3 x (Δx)^2 + (Δx)^3 -x^3 ] / Δx
= 3x^2 + 3 Δx + (Δx)^2

取極限 Δx 趨近於零,就只剩下第一項。
舊 2019-11-02, 09:12 AM #7
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oversky.離線中  
oversky.
Junior Member
 

加入日期: Feb 2013
文章: 765
引用:
作者oversky.
應該說導數的「定義」,是斜率公式取極限

y = f(x) = x^3
f'(x) = lim Δy / Δx

Δy / Δx
= [(x+Δx)^3 - x^3] / Δx
= [ x^3 + 3x^2 Δx + 3 x (Δx)^2 + (Δx)^3 -x^3 ] / Δx
= 3x^2 + 3 Δx + (Δx)^2

取極限 Δx 趨近於零,就只剩下第一項。


3x^2 + 3 Δx + (Δx)^2 第二項少打了 x

3x^2 + 3 x Δx + (Δx)^2
舊 2019-11-02, 09:48 AM #8
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oversky.離線中  
stanleywang
Amateur Member
 

加入日期: Oct 2017
文章: 38
引用:
作者joe2001
我已經問過許多高微拿高分的同學,得到的答案都是 - 這是證明的結果。

但我不是問這個,證明我懂得。

以 y= x^3 這個函數為例,
我的意思是,

為什麼 x*x*x ,他的某點以極限逼近的改變率,剛好是 x+x+x ?

為什麼有這麼巧的事情?


首先函數微分之後 是導函數,導函數代入值後,才會得到函數在該點的導數。

另外 導數跟斜率 為什麼 剛好一樣,
我認為只是這兩者的定義剛好一樣而已,
只不過 導數是用在一般化的情況下,
斜率則專指在幾何上的意義。
__________________
China = Nazi, which is Chinazi
舊 2019-11-02, 11:05 AM #9
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stanleywang離線中  
MrSad
Basic Member
 

加入日期: Mar 2017
文章: 19
我看了上面幾個教學視頻 還有之前我找給我兒子看的幾個視頻

我真心覺得現在傳統的教學方式應該要改一改了

教的可能比一堆老師教的都仔細
舊 2019-11-02, 11:36 AM #10
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MrSad離線中  


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