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![]() 加入日期: Dec 2002 您的住址: 謎
文章: 265
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因為那篇已經太長了,我想有興趣的人可能沒有耐心看完所有人的論述。 所以,另外開一篇,不過,在討論上面這個問題之前,先來討論比較易懂的問題。 認為換不換沒差 (都是 1/2) 的人,請特別思考問題 (1)。 認為換了比較好 (原本是 1/3,換了變 2/3) 的人,請特別思考問題 (2)。 (1) 有三張撲克牌,裡面有一張 Ace,我跟您比賽抽到 Ace 的人贏, 您先抽了一張,在您還沒看的時候,我就把剩下兩張都拿走, 您就說:「這樣不公平」,於是我就把手中的牌拿起來看了一下, 丟下一張不是 Ace 的牌,然後說:「現在一人一張牌,公平了吧?」 請問您獲勝的機率是多少,您覺得公平嗎? (2) 有三張撲克牌,裡面有一張 Ace,我跟您比賽抽到 Ace 的人贏, 您先抽了一張,在您還沒看的時候,我就把剩下兩張都拿走, 您就說:「這樣不公平」,於是我就隨意丟下一張牌 (兩張牌都還沒看), 然後說:「現在一人一張牌,公平了吧?」我想這時您會同意這是公平的。 但在雙方看手上的牌之前,決定先翻開桌上的牌,發現不是 Ace。 請問您獲勝的機率是多少,您覺得公平嗎? 上面兩個問題最後的狀況都一樣: 桌上打開一張不是 Ace 的撲克牌,我跟您手中各拿一張牌。 但答案就是不一樣。差別在哪?就差在我有沒有看牌了。 所以呢? 在 c_g_h1121提出的命題裡,隱含著甲乙皆不知正確的鑰匙是那一把的意思, 所以答案就是「換不換沒差」。 至於台大數學系的那篇文章,隱含著主持人故意打開一扇關著山羊的房間的意思, 所以答案就是「換比不換好」。 |
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Major Member
![]() 加入日期: Feb 2004 您的住址: Taiwan, Republic of China
文章: 105
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不對。你一直都忘記了, 「題目一開始就已經限定,乙只能抽到錯的鑰匙。」(或者應該是說,甲是在確定乙抽的鑰匙是錯的後,才開始計算第三把鑰匙是正確的機率。) 所以其實, 「就算乙是不小心(不知情)抽到錯的鑰匙,但只要甲也知道乙抽的鑰匙是錯的後,那這時的情況,就和乙是故意(知情)而抽到錯的鑰匙是等價的了。」 這樣說好了,以你的例子來說。 今天我先抽一張牌,然後剩下的兩張牌歸你。我一開始就抽中Ace的機率是1/3,剩下的2/3可能性則在你那兩張牌那邊。 這時,你開始要丟掉你那兩張的其中一張。但請注意, 「就算讓你看牌好了,你也只能保留不是Ace的那張,而一定要把Ace給丟掉!」 為什麼?因為題目已經告訴我們事實-乙並沒有抽對鑰匙,也就是你絕不能抽到Ace!題目的條件限制,就已經把你鎖死了,所以讓不讓你看牌根本沒差,你只要選Ace,就與題意不符。 所以這樣說回來,這場賭局表面上你是拿了兩張牌,但因為題目限制,使得你卻只能保留不是Ace的那張(如果我真的沒抽到Ace的話),所以我最多和你打和,但絕對不會輸。: ) 亦即回到原題目裡, 一開始三把鑰匙,只有一把是對。甲先抽,乙第二抽,還剩第三把沒人選,所以各自中獎的機率是1/3,這沒問題。 但甲先抽,亦即會有2/3的可能性,是對的鑰匙在乙或沒人選的那把那邊。但這時乙抽的鑰匙又被證實是錯的(等於是幫甲忙,把第二把錯的找出來,而甲也絕不可能再去選乙選的那把錯的鑰匙(當然也不能選,因為鑰匙不放回)),那剩下沒人選的那把正確的機率,自然就是1/3 (沒人選的那把鑰匙原先正確的機率)+ 1/3(甲已經知道乙選的是錯了,所以絕不會去選,也因為鑰匙不放回,所以不能選的乙的那把) = 2/3了。 |
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Amateur Member
![]() 加入日期: Apr 2002
文章: 46
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回覆: 回覆: [解答] 機率小問題,大家來動動腦~ ^^
引用:
這裡你就錯了 第一種情況, 甲先選一張, 乙看剩下的牌, 挑出一張錯的丟掉, 然後你再考慮換不換 第二種情況, 甲先選一張, 但乙不看牌, 隨便挑一張, 要是挑到的是Ace, 那此局不算, 重新再來 也就是說, 如果一開始甲挑到的是錯的 第一種情況, 乙就一定要去挑剩下的那一張錯的 第二種情況, 乙隨便挑一張, 如果是Ace, 那就不討論(請注意, 是不討論, 而不是不可能發生) 只有挑到不是Ace的情況, 我們才繼續討論 你可以再想想, 「乙一定要挑一把錯的」跟「只討論乙挑到錯的的情況」 兩種設定有何不同 |
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Major Member
![]() 加入日期: Dec 2002 您的住址: 謎
文章: 265
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回覆: 回覆: [解答] 機率小問題,大家來動動腦~ ^^
引用:
![]() ![]() ![]() 我如果看了牌我當然要丟掉不是 Ace 的啊。 anyway,您是從頭到尾堅持答案是 1/3 的。(換比不換好) 請回答問題 (2),在您還沒看牌之前,您覺得您獲勝的機會是多少? (2) 有三張撲克牌,裡面有一張 Ace,我跟您比賽抽到 Ace 的人贏, 您先抽了一張,在您還沒看的時候,我就把剩下兩張都拿走, 您就說:「這樣不公平」,於是我就隨意丟下一張牌 (兩張牌都還沒看), 然後說:「現在一人一張牌,公平了吧?」我想這時您會同意這是公平的。 但在雙方看手上的牌之前,決定先翻開桌上的牌,發現不是 Ace。 請問您獲勝的機率是多少,您覺得公平嗎? 第 n 度提醒您,這個問題跟『山羊與轎車』的問題不等價。 另外,我想有些人對於機率的認知可能不大一樣, 已經不能改變的事能不能討論機率,其實還是可以的。 我買了一張樂透彩券,在還沒開獎之前,我知道它中頭獎的機率大概是五百萬分之一。 但在開獎之後,這張彩券只要我還沒去對獎,對我來說,它中頭獎的機率就還是沒變,雖然這時候它已經確定不會中頭獎了 (或者已經中了)。 上面的問題也一樣。 在問題 (2) 裡,在您抽出一張牌的時候,它是不是 Ace 已經不能改變了, 但只要您還沒看,對您而言,它就有 1/3 的機會是 Ace。 在桌上隨機選出的牌翻開並確定不是 Ace 之後,對您而言,您手中還沒看的牌就有 1/2 的機會是 Ace。 但在問題 (1) 裡,您已經看到我看了手中的牌,並且依常理,您知道我一定會丟下一張不是 Ace 的牌, 所以在看到桌面上的非 Ace 的牌對您沒幫助,所以您還是覺得您手中的牌跟本來一樣,仍然是有 1/3 的機會是 Ace。 (對已經看到牌的我而言,您手中的牌不是 Ace 的機會不是 0 就是 1 了 (就看我手中的牌而定了)) -- 最後一貼。 此文章於 2004-06-04 09:36 PM 被 8:5 編輯. |
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Regular Member
![]() ![]() 加入日期: Feb 2002
文章: 50
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我也來解解看.
1) 我獲勝的機率是3分之1 但是我拿到ace的機率是2分之1 我獲勝的機率只有3分之1當然不公平. 獲勝的機率跟拿到ace的機率不一樣是因為時間上的不同. 當你看了2張牌時,你拿到ace的機率以經是3分之2. 相對的我就是3分之1. 當你把一張牌丟出來時,我拿到ace的機率就變成2分之1了. 為啥我獲勝的機率不是2分之1呢? 因為當你看了2張牌後你的機率就是3分之2且不會改變,而我獲勝的機率也將不會變. 因為each trial is independent, 所以你丟出一張牌時,算是不同的事件了. 所以要另外算, 要不然2分之1+3分之2 將大於1. 而機率是不可能大於1的. |
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Major Member
![]() 加入日期: Feb 2004 您的住址: Taiwan, Republic of China
文章: 105
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![]() 引用:
我覺得不是這樣。 要注意的是, 「甲是在確定乙抽到錯的後,才開始考慮第三把鑰匙的機率是多少?」 也就是說,甲根本就不用再去考慮"乙抽到對的可能性是多少?"因為事實已經告訴甲,「乙抽到錯的鑰匙」。 所以不是"不討論",而是"根本不可能發生",為什麼不可能,因為事實已經告訴甲,乙抽到錯的鑰匙。甲也是在這個時間點開始,才開始估算第三把鑰匙正確的機率是多少。 你所謂的「可能發生」的情況,應該是在乙抽完第二把鑰匙後,"乙自己知道自己抽錯鑰匙了,但甲並不知道這個事實",這個時候,對甲而言,由於他不知道到底乙有沒有抽對鑰匙,所以他才要把"乙可能抽對鑰匙的1/2機率一起考慮進去"(雖然事實上,其實乙抽錯了鑰匙)。所以這時候對甲來說,才會是"第三把鑰匙正確的機率也是1/3"(若只用剩下的兩把來討論,才是各50%會正確),對甲來說,這時換不換才會沒差。 簡單的講,就是當你說"可能發生"時,其實這就已經違背了"甲已知絕不可能發生"的題意了。(我們應該是同樣站在甲的立場來思考這個問題才對。) |
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Major Member
![]() 加入日期: Feb 2004 您的住址: Taiwan, Republic of China
文章: 105
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![]() Originally posted by 8:5
>我如果看了牌我當然要丟掉不是 Ace 的啊。 不行,如果你這麼做(留下Ace給自己),那就與題意不符了。 題目已經很明確的告訴你,"你沒有抽到Ace(乙沒有抽對鑰匙)",既然如此,你又怎麼可以把Ace保留給自己呢? >請回答問題 (2),在您還沒看牌之前,您覺得您獲勝的機會是多少? >(2) >有三張撲克牌,裡面有一張 Ace,我跟您比賽抽到 Ace 的人贏, >您先抽了一張,在您還沒看的時候,我就把剩下兩張都拿走, >您就說:「這樣不公平」,於是我就隨意丟下一張牌 (兩張牌都還沒看), >然後說:「現在一人一張牌,公平了吧?」我想這時您會同意這是公平的。 >但在雙方看手上的牌之前,決定先翻開桌上的牌,發現不是 Ace。 >請問您獲勝的機率是多少,您覺得公平嗎? 我之前一直被你的這個例子給誤導了。 重點是: 「不論你是看牌再丟還是隨意丟,總之你就一定是要把Ace給丟掉。(如果你有抽到Ace的話。」 否則你的行為結果,就和題目裡"乙抽錯鑰匙"的結果不符,也就不能再拿來類比原題目。 >第 n 度提醒您,這個問題跟『山羊與轎車』的問題不等價。 也是第 n 度回應您, 「當甲確定乙抽到的是錯的鑰匙後,那麼即使乙是不小心抽錯,但對甲而言,他要計算第三把鑰匙正確的機率的情況,就和乙"是故意抽錯的狀況下才抽錯"等價了。總之,"乙就是抽錯了",所以對甲而言,他根本就不必再去考慮"乙若抽對"的這種情況,會如何影響他計算第三把鑰匙的機率值了。」 >另外,我想有些人對於機率的認知可能不大一樣, >已經不能改變的事能不能討論機率,其實還是可以的。 >我買了一張樂透彩券,在還沒開獎之前,我知道它中頭獎的機率大概是五百萬分之一。 >但在開獎之後,這張彩券只要我還沒去對獎,對我來說,它中頭獎的機率就還是沒變,雖然這時候它已經確定不會中頭獎了 (或者已經中了)。 你現在的這個例子,就跟把原題目的"三把鑰匙"改成"兩把鑰匙"來討論一樣。 所以我才說,大家最後都被那個"二選一"的情況給蒙蔽了。 「表面上是二選一,但實際上各自正確的機率根本就不同,所以怎麼可能換與不換各正確的機率會變成50%?」 以原題目的鑰匙的來講,甲一開始抽的鑰匙正確的機率是33%,而剩下的那把正確的機是66%,那又怎麼可能換與不換各正確的機率是50%? 以樂透的例子來講,你買了一張,中獎的機率是500萬分之一,現在開獎了,你手上那張樂透彩券"本身"的中獎機率還是500萬分之一啊! 「如果中了,那是你的運氣好,並不是你手上的那張彩券"中獎率"真的提高到100%了(或者是說因為你有"鴻運"加持,所以才使得你手上的那張彩券最後中獎率"提高"到100%!但在機率估算裡,本來就不考慮運氣成分的,若運氣成分都考慮,那還有什麼好算,好討論的呢?」(不換鑰匙還對的情況是因為甲自己運氣好,並不是因為甲手上的那把鑰匙正確的機率真的提高到50%了,亦即甲是因為運氣好才一開始就抽對,但,機率計算本身就不考慮運氣成分。) 你明白我的意思嗎? 此文章於 2004-06-06 11:48 AM 被 c_g_h1121 編輯. |
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Amateur Member
![]() 加入日期: Apr 2002
文章: 46
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c_g_h1121兄認為這一題是「山羊與轎車」的等價題
所以換比不換好 我則是認為原題目是在考「條件機率」 甲乙兩人都是在不知情的情況下去抽鑰匙 在乙抽到錯的鑰匙的情況下, 甲抽到對的鑰匙的機率是多少?? 如果題目是這樣話, 相信c_g_h1121兄也會同意換或不換是沒差的吧... ![]() |
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Basic Member
加入日期: Sep 2003
文章: 11
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樓上上的大大
依您的邏輯 是不是應該改為 甲先抽一鑰匙 乙拿走不能開的鑰匙,比較恰當呢? quote: -------------------------------------------------------------------------------- Originally posted by c_g_h1121 不對。你一直都忘記了, 「題目一開始就已經限定,乙只能抽到錯的鑰匙。」(或者應該是說,甲是在確定乙抽的鑰匙是錯的後,才開始計算第三把鑰匙是正確的機率。) ------------------------------------------------------------------------------ "乙一定拿到不對的鑰匙" 怎麼還會是叫做抽呢? 如果是乙拿走剩下中錯誤的鑰匙 剩下那隻就會是2/3 如果是用抽的 那就會是1/2 差別就只是在玩文字遊戲誤導人罷了 此文章於 2004-06-06 12:24 PM 被 ppp921 編輯. |
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Major Member
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文章: 265
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機率這個東西‧‧‧
我手中拿著一張未知的牌,對我而言,它是 Ace 的機率是會隨著我得到的資訊而變的‧‧‧ 如果一開始我確定三張牌裡只有一張 Ace。 我任意拿起一張牌,我知道它是 Ace 的機率是 1/3。 我任意打開剩下兩張牌的一張,發現不是 Ace,此時,我知道我手中的牌是 Ace 的機率是1/2 。 我再打開桌上最後一張牌,發現是 Ace,此時我就知道我手中的牌是 Ace 的機率是 0% 。 在上面的這個例子裡,1/3、1/2或者 0% 都是不同時間點依據我所知的資訊算的結果,是對我而言的機率。 其他人在不同時候,如果有更多或更少的資訊的話,他們認為我手中牌是 Ace 的機率可能不一樣。 如果您不同意以上觀點,您可以再去創造一門學問, 當然,它的名字就不能就做機率了,因為這會跟目前大家所接受的機率學衝突。 引用:
「開獎了,你手上那張樂透彩券"本身"的中獎機率還是500萬分之一啊!」 我不是很能理解您這句話的意思是什麼,獎券本身又沒有知覺了‧‧‧ 無論如何,我試著了解您心中所想像的『機率』是什麼 (以下先稱它為『機運』吧),並解釋為何還是『換不換沒差』。 回到原題目,並套用您上面這段話的理論,在乙任意抽走一支鑰匙並發現是錯的之後‧‧‧ 此時三把鑰匙“本身”是正確的『機運』分別是: 甲手中的那一把: 1/3 乙抽走確定是錯的那一把: 1/3 (雖然已經確定錯了,但還是不能說因為乙抽錯了使得它是正確的『機運』變成 0%。 鑰匙本身還是認為自己有 1/3 的『機運』是正確的? 您的意思應該是這樣吧?) 剩下那一把: 1/3 甲手中的跟剩下的兩把鑰匙是正確的『機運』都是 1/3。 所以,還是換不換沒差。 -- 其實,本來不想再回這個文章了。 何必在 78 區這麼認真。 |
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