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8:5
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Post [解答] 機率小問題,大家來動動腦~ ^^

引用:
Originally posted by c_g_h1121
[B]題目是這樣:
有三把鑰匙,但只有一把能開,甲挑了一把鑰匙(但沒試),乙也挑了一把去試(結果不能開)。
那麼試問,甲要不要換未選過的那把鑰匙(也就是要問哪一把成功的機率較大)??
[B]

因為那篇已經太長了,我想有興趣的人可能沒有耐心看完所有人的論述。
所以,另外開一篇,不過,在討論上面這個問題之前,先來討論比較易懂的問題。

認為換不換沒差 (都是 1/2) 的人,請特別思考問題 (1)。
認為換了比較好 (原本是 1/3,換了變 2/3) 的人,請特別思考問題 (2)。

(1)
有三張撲克牌,裡面有一張 Ace,我跟您比賽抽到 Ace 的人贏,
您先抽了一張,在您還沒看的時候,我就把剩下兩張都拿走,
您就說:「這樣不公平」,於是我就把手中的牌拿起來看了一下,
丟下一張不是 Ace 的牌,然後說:「現在一人一張牌,公平了吧?」
請問您獲勝的機率是多少,您覺得公平嗎?

(2)
有三張撲克牌,裡面有一張 Ace,我跟您比賽抽到 Ace 的人贏,
您先抽了一張,在您還沒看的時候,我就把剩下兩張都拿走,
您就說:「這樣不公平」,於是我就隨意丟下一張牌 (兩張牌都還沒看),
然後說:「現在一人一張牌,公平了吧?」我想這時您會同意這是公平的。
但在雙方看手上的牌之前,決定先翻開桌上的牌,發現不是 Ace。
請問您獲勝的機率是多少,您覺得公平嗎?


上面兩個問題最後的狀況都一樣:
桌上打開一張不是 Ace 的撲克牌,我跟您手中各拿一張牌。
但答案就是不一樣。差別在哪?就差在我有沒有看牌了。


所以呢?
在 c_g_h1121提出的命題裡,隱含著甲乙皆不知正確的鑰匙是那一把的意思,
所以答案就是「換不換沒差」。
至於台大數學系的那篇文章,隱含著主持人故意打開一扇關著山羊的房間的意思,
所以答案就是「換比不換好」。
     
      
舊 2004-06-03, 11:16 PM #1
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c_g_h1121
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引用:
Originally posted by 8:5
因為那篇已經太長了,我想有興趣的人可能沒有耐心看完所有人的論述。
所以,另外開一篇,不過,在討論上面這個問題之前,先來討論比較易懂的問題。

認為換不換沒差 (都是 1/2) 的人,請特別思考問題 (1)。
認為換了比較好 (原本是 1/3,換了變 2/3) 的人,請特別思考問題 (2)。

(1)
有三張撲克牌,裡面有一張 Ace,我跟您比賽抽到 Ace 的人贏,
您先抽了一張,在您還沒看的時候,我就把剩下兩張都拿走,
您就說:「這樣不公平」,於是我就把手中的牌拿起來看了一下,
丟下一張不是 Ace 的牌,然後說:「現在一人一張牌,公平了吧?」
請問您獲勝的機率是多少,您覺得公平嗎?

(2)
有三張撲克牌,裡面有一張 Ace,我跟您比賽抽到 Ace 的人贏,
您先抽了一張,在您還沒看的時候,我就把剩下兩張都拿走,
您就說:「這樣不公平」,於是我就隨意丟下一張牌 (兩張牌都還沒看),
然後說:「現在一人一張牌,公平了吧?」我想這時您會同意這是公平的。
但在雙方看手上的牌之前,決定先翻開桌上的牌,發現不是 Ace。
請問您獲勝的機率是多少,您覺得公平嗎?


上面兩個問題最後的狀況都一樣:
桌上打開一張不是 Ace 的撲克牌,我跟您手中各拿一張牌。
但答案就是不一樣。差別在哪?就差在我有沒有看牌了。


所以呢?
在 c_g_h1121提出的命題裡,隱含著甲乙皆不知正確的鑰匙是那一把的意思,
所以答案就是「換不換沒差」。
至於台大數學系的那篇文章,隱含著主持人故意打開一扇關著山羊的房間的意思,
所以答案就是「換比不換好」。


不對。你一直都忘記了,

「題目一開始就已經限定,乙只能抽到錯的鑰匙。」(或者應該是說,甲是在確定乙抽的鑰匙是錯的後,才開始計算第三把鑰匙是正確的機率。)

所以其實,

「就算乙是不小心(不知情)抽到錯的鑰匙,但只要甲也知道乙抽的鑰匙是錯的後,那這時的情況,就和乙是故意(知情)而抽到錯的鑰匙是等價的了。」

這樣說好了,以你的例子來說。
今天我先抽一張牌,然後剩下的兩張牌歸你。我一開始就抽中Ace的機率是1/3,剩下的2/3可能性則在你那兩張牌那邊。
這時,你開始要丟掉你那兩張的其中一張。但請注意,

「就算讓你看牌好了,你也只能保留不是Ace的那張,而一定要把Ace給丟掉!」

為什麼?因為題目已經告訴我們事實-乙並沒有抽對鑰匙,也就是你絕不能抽到Ace!題目的條件限制,就已經把你鎖死了,所以讓不讓你看牌根本沒差,你只要選Ace,就與題意不符。
所以這樣說回來,這場賭局表面上你是拿了兩張牌,但因為題目限制,使得你卻只能保留不是Ace的那張(如果我真的沒抽到Ace的話),所以我最多和你打和,但絕對不會輸。: )
亦即回到原題目裡,
一開始三把鑰匙,只有一把是對。甲先抽,乙第二抽,還剩第三把沒人選,所以各自中獎的機率是1/3,這沒問題。
但甲先抽,亦即會有2/3的可能性,是對的鑰匙在乙或沒人選的那把那邊。但這時乙抽的鑰匙又被證實是錯的(等於是幫甲忙,把第二把錯的找出來,而甲也絕不可能再去選乙選的那把錯的鑰匙(當然也不能選,因為鑰匙不放回)),那剩下沒人選的那把正確的機率,自然就是1/3 (沒人選的那把鑰匙原先正確的機率)+ 1/3(甲已經知道乙選的是錯了,所以絕不會去選,也因為鑰匙不放回,所以不能選的乙的那把) = 2/3了。
 
舊 2004-06-04, 07:20 PM #2
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driftice
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加入日期: Apr 2002
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引用:
Originally posted by c_g_h1121

為什麼?因為題目已經告訴我們事實-乙並沒有抽對鑰匙,也就是你絕不能抽到Ace!題目的條件限制,就已經把你鎖死了,所以讓不讓你看牌根本沒差,你只要選Ace,就與題意不符。

這裡你就錯了
第一種情況, 甲先選一張, 乙看剩下的牌, 挑出一張錯的丟掉, 然後你再考慮換不換
第二種情況, 甲先選一張, 但乙不看牌, 隨便挑一張, 要是挑到的是Ace, 那此局不算, 重新再來

也就是說, 如果一開始甲挑到的是錯的
第一種情況, 乙就一定要去挑剩下的那一張錯的
第二種情況, 乙隨便挑一張, 如果是Ace, 那就不討論(請注意, 是不討論, 而不是不可能發生)
只有挑到不是Ace的情況, 我們才繼續討論

你可以再想想, 「乙一定要挑一把錯的」跟「只討論乙挑到錯的的情況」
兩種設定有何不同
舊 2004-06-04, 08:08 PM #3
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driftice離線中  
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加入日期: Dec 2002
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引用:
Originally posted by c_g_h1121
「就算讓你看牌好了,你也只能保留不是Ace的那張,而一定要把Ace給丟掉!」


我如果看了牌我當然要丟掉不是 Ace 的啊。

anyway,您是從頭到尾堅持答案是 1/3 的。(換比不換好)
請回答問題 (2),在您還沒看牌之前,您覺得您獲勝的機會是多少?
(2)
有三張撲克牌,裡面有一張 Ace,我跟您比賽抽到 Ace 的人贏,
您先抽了一張,在您還沒看的時候,我就把剩下兩張都拿走,
您就說:「這樣不公平」,於是我就隨意丟下一張牌 (兩張牌都還沒看),
然後說:「現在一人一張牌,公平了吧?」我想這時您會同意這是公平的。
但在雙方看手上的牌之前,決定先翻開桌上的牌,發現不是 Ace。
請問您獲勝的機率是多少,您覺得公平嗎?




第 n 度提醒您,這個問題跟『山羊與轎車』的問題不等價。


另外,我想有些人對於機率的認知可能不大一樣,
已經不能改變的事能不能討論機率,其實還是可以的。
我買了一張樂透彩券,在還沒開獎之前,我知道它中頭獎的機率大概是五百萬分之一。
但在開獎之後,這張彩券只要我還沒去對獎,對我來說,它中頭獎的機率就還是沒變,雖然這時候它已經確定不會中頭獎了 (或者已經中了)。

上面的問題也一樣。

在問題 (2) 裡,在您抽出一張牌的時候,它是不是 Ace 已經不能改變了,
但只要您還沒看,對您而言,它就有 1/3 的機會是 Ace。
在桌上隨機選出的牌翻開並確定不是 Ace 之後,對您而言,您手中還沒看的牌就有 1/2 的機會是 Ace。

但在問題 (1) 裡,您已經看到我看了手中的牌,並且依常理,您知道我一定會丟下一張不是 Ace 的牌,
所以在看到桌面上的非 Ace 的牌對您沒幫助,所以您還是覺得您手中的牌跟本來一樣,仍然是有 1/3 的機會是 Ace。
(對已經看到牌的我而言,您手中的牌不是 Ace 的機會不是 0 就是 1 了 (就看我手中的牌而定了))

--
最後一貼。

此文章於 2004-06-04 09:36 PM 被 8:5 編輯.
舊 2004-06-04, 08:50 PM #4
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8:5離線中  
rekojz
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加入日期: Feb 2002
文章: 50
我也來解解看.
1)
我獲勝的機率是3分之1
但是我拿到ace的機率是2分之1
我獲勝的機率只有3分之1當然不公平.
獲勝的機率跟拿到ace的機率不一樣是因為時間上的不同. 當你看了2張牌時,你拿到ace的機率以經是3分之2. 相對的我就是3分之1.
當你把一張牌丟出來時,我拿到ace的機率就變成2分之1了. 為啥我獲勝的機率不是2分之1呢? 因為當你看了2張牌後你的機率就是3分之2且不會改變,而我獲勝的機率也將不會變.
因為each trial is independent, 所以你丟出一張牌時,算是不同的事件了. 所以要另外算, 要不然2分之1+3分之2 將大於1. 而機率是不可能大於1的.
舊 2004-06-05, 01:05 PM #5
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c_g_h1121
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引用:
Originally posted by driftice
這裡你就錯了
第一種情況, 甲先選一張, 乙看剩下的牌, 挑出一張錯的丟掉, 然後你再考慮換不換
第二種情況, 甲先選一張, 但乙不看牌, 隨便挑一張, 要是挑到的是Ace, 那此局不算, 重新再來

也就是說, 如果一開始甲挑到的是錯的
第一種情況, 乙就一定要去挑剩下的那一張錯的
第二種情況, 乙隨便挑一張, 如果是Ace, 那就不討論(請注意, 是不討論, 而不是不可能發生)
只有挑到不是Ace的情況, 我們才繼續討論

你可以再想想, 「乙一定要挑一把錯的」跟「只討論乙挑到錯的的情況」
兩種設定有何不同


我覺得不是這樣。
要注意的是,

「甲是在確定乙抽到錯的後,才開始考慮第三把鑰匙的機率是多少?」

也就是說,甲根本就不用再去考慮"乙抽到對的可能性是多少?"因為事實已經告訴甲,「乙抽到錯的鑰匙」。
所以不是"不討論",而是"根本不可能發生",為什麼不可能,因為事實已經告訴甲,乙抽到錯的鑰匙。甲也是在這個時間點開始,才開始估算第三把鑰匙正確的機率是多少。
你所謂的「可能發生」的情況,應該是在乙抽完第二把鑰匙後,"乙自己知道自己抽錯鑰匙了,但甲並不知道這個事實",這個時候,對甲而言,由於他不知道到底乙有沒有抽對鑰匙,所以他才要把"乙可能抽對鑰匙的1/2機率一起考慮進去"(雖然事實上,其實乙抽錯了鑰匙)。所以這時候對甲來說,才會是"第三把鑰匙正確的機率也是1/3"(若只用剩下的兩把來討論,才是各50%會正確),對甲來說,這時換不換才會沒差。
簡單的講,就是當你說"可能發生"時,其實這就已經違背了"甲已知絕不可能發生"的題意了。(我們應該是同樣站在甲的立場來思考這個問題才對。)
舊 2004-06-06, 11:11 AM #6
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c_g_h1121
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文章: 105
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Originally posted by 8:5
>我如果看了牌我當然要丟掉不是 Ace 的啊。

不行,如果你這麼做(留下Ace給自己),那就與題意不符了。
題目已經很明確的告訴你,"你沒有抽到Ace(乙沒有抽對鑰匙)",既然如此,你又怎麼可以把Ace保留給自己呢?

>請回答問題 (2),在您還沒看牌之前,您覺得您獲勝的機會是多少?
>(2)
>有三張撲克牌,裡面有一張 Ace,我跟您比賽抽到 Ace 的人贏,
>您先抽了一張,在您還沒看的時候,我就把剩下兩張都拿走,
>您就說:「這樣不公平」,於是我就隨意丟下一張牌 (兩張牌都還沒看),
>然後說:「現在一人一張牌,公平了吧?」我想這時您會同意這是公平的。
>但在雙方看手上的牌之前,決定先翻開桌上的牌,發現不是 Ace。
>請問您獲勝的機率是多少,您覺得公平嗎?

我之前一直被你的這個例子給誤導了。
重點是:

「不論你是看牌再丟還是隨意丟,總之你就一定是要把Ace給丟掉。(如果你有抽到Ace的話。」

否則你的行為結果,就和題目裡"乙抽錯鑰匙"的結果不符,也就不能再拿來類比原題目。

>第 n 度提醒您,這個問題跟『山羊與轎車』的問題不等價。

也是第 n 度回應您,

「當甲確定乙抽到的是錯的鑰匙後,那麼即使乙是不小心抽錯,但對甲而言,他要計算第三把鑰匙正確的機率的情況,就和乙"是故意抽錯的狀況下才抽錯"等價了。總之,"乙就是抽錯了",所以對甲而言,他根本就不必再去考慮"乙若抽對"的這種情況,會如何影響他計算第三把鑰匙的機率值了。」

>另外,我想有些人對於機率的認知可能不大一樣,
>已經不能改變的事能不能討論機率,其實還是可以的。
>我買了一張樂透彩券,在還沒開獎之前,我知道它中頭獎的機率大概是五百萬分之一。
>但在開獎之後,這張彩券只要我還沒去對獎,對我來說,它中頭獎的機率就還是沒變,雖然這時候它已經確定不會中頭獎了 (或者已經中了)。

你現在的這個例子,就跟把原題目的"三把鑰匙"改成"兩把鑰匙"來討論一樣。
所以我才說,大家最後都被那個"二選一"的情況給蒙蔽了。

「表面上是二選一,但實際上各自正確的機率根本就不同,所以怎麼可能換與不換各正確的機率會變成50%?」

以原題目的鑰匙的來講,甲一開始抽的鑰匙正確的機率是33%,而剩下的那把正確的機是66%,那又怎麼可能換與不換各正確的機率是50%?

以樂透的例子來講,你買了一張,中獎的機率是500萬分之一,現在開獎了,你手上那張樂透彩券"本身"的中獎機率還是500萬分之一啊!

「如果中了,那是你的運氣好,並不是你手上的那張彩券"中獎率"真的提高到100%了(或者是說因為你有"鴻運"加持,所以才使得你手上的那張彩券最後中獎率"提高"到100%!但在機率估算裡,本來就不考慮運氣成分的,若運氣成分都考慮,那還有什麼好算,好討論的呢?」(不換鑰匙還對的情況是因為甲自己運氣好,並不是因為甲手上的那把鑰匙正確的機率真的提高到50%了,亦即甲是因為運氣好才一開始就抽對,但,機率計算本身就不考慮運氣成分。)

你明白我的意思嗎?

此文章於 2004-06-06 11:48 AM 被 c_g_h1121 編輯.
舊 2004-06-06, 11:41 AM #7
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c_g_h1121離線中  
driftice
Amateur Member
 

加入日期: Apr 2002
文章: 46
c_g_h1121兄認為這一題是「山羊與轎車」的等價題
所以換比不換好

我則是認為原題目是在考「條件機率」
甲乙兩人都是在不知情的情況下去抽鑰匙
在乙抽到錯的鑰匙的情況下, 甲抽到對的鑰匙的機率是多少??
如果題目是這樣話, 相信c_g_h1121兄也會同意換或不換是沒差的吧...
舊 2004-06-06, 12:08 PM #8
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ppp921
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加入日期: Sep 2003
文章: 11
樓上上的大大
依您的邏輯
是不是應該改為

甲先抽一鑰匙
乙拿走不能開的鑰匙,比較恰當呢?


quote:
--------------------------------------------------------------------------------
Originally posted by c_g_h1121

不對。你一直都忘記了,

「題目一開始就已經限定,乙只能抽到錯的鑰匙。」(或者應該是說,甲是在確定乙抽的鑰匙是錯的後,才開始計算第三把鑰匙是正確的機率。)
------------------------------------------------------------------------------

"乙一定拿到不對的鑰匙"
怎麼還會是叫做抽呢?
如果是乙拿走剩下中錯誤的鑰匙
剩下那隻就會是2/3
如果是用抽的
那就會是1/2
差別就只是在玩文字遊戲誤導人罷了

此文章於 2004-06-06 12:24 PM 被 ppp921 編輯.
舊 2004-06-06, 12:14 PM #9
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ppp921離線中  
8:5
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加入日期: Dec 2002
您的住址: 謎
文章: 265
機率這個東西‧‧‧
我手中拿著一張未知的牌,對我而言,它是 Ace 的機率是會隨著我得到的資訊而變的‧‧‧

如果一開始我確定三張牌裡只有一張 Ace。
我任意拿起一張牌,我知道它是 Ace 的機率是 1/3。
我任意打開剩下兩張牌的一張,發現不是 Ace,此時,我知道我手中的牌是 Ace 的機率是1/2 。
我再打開桌上最後一張牌,發現是 Ace,此時我就知道我手中的牌是 Ace 的機率是 0% 。

在上面的這個例子裡,1/3、1/2或者 0% 都是不同時間點依據我所知的資訊算的結果,是對我而言的機率。
其他人在不同時候,如果有更多或更少的資訊的話,他們認為我手中牌是 Ace 的機率可能不一樣。

如果您不同意以上觀點,您可以再去創造一門學問,
當然,它的名字就不能就做機率了,因為這會跟目前大家所接受的機率學衝突。

引用:
以樂透的例子來講,你買了一張,中獎的機率是500萬分之一,現在開獎了,你手上那張樂透彩券"本身"的中獎機率還是500萬分之一啊!

「如果中了,那是你的運氣好,並不是你手上的那張彩券"中獎率"真的提高到100%了(或者是說因為你有"鴻運"加持,所以才使得你手上的那張彩券最後中獎率"提高"到100%!但在機率估算裡,本來就不考慮運氣成分的,若運氣成分都考慮,那還有什麼好算,好討論的呢?」(不換鑰匙還對的情況是因為甲自己運氣好,並不是因為甲手上的那把鑰匙正確的機率真的提高到50%了,亦即甲是因為運氣好才一開始就抽對,但,機率計算本身就不考慮運氣成分。)

「開獎了,你手上那張樂透彩券"本身"的中獎機率還是500萬分之一啊!」
我不是很能理解您這句話的意思是什麼,獎券本身又沒有知覺了‧‧‧
無論如何,我試著了解您心中所想像的『機率』是什麼 (以下先稱它為『機運』吧),並解釋為何還是『換不換沒差』。

回到原題目,並套用您上面這段話的理論,在乙任意抽走一支鑰匙並發現是錯的之後‧‧‧
此時三把鑰匙“本身”是正確的『機運』分別是:
甲手中的那一把: 1/3
乙抽走確定是錯的那一把: 1/3
(雖然已經確定錯了,但還是不能說因為乙抽錯了使得它是正確的『機運』變成 0%。
鑰匙本身還是認為自己有 1/3 的『機運』是正確的? 您的意思應該是這樣吧?)
剩下那一把: 1/3
甲手中的跟剩下的兩把鑰匙是正確的『機運』都是 1/3。

所以,還是換不換沒差。

--
其實,本來不想再回這個文章了。
何必在 78 區這麼認真。
舊 2004-06-06, 03:16 PM #10
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8:5離線中  


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