反正記得一件事情
"頻率相同"的弦波不管怎麼加
都會是原來"頻率"的弦波
相位跟振幅不同而已

如果想知道一切原因的源頭
就是cos(wt) 跟 sin(wt) 互相是垂直(正交)的
所以兩者相加 會產生新的弦波
但是加法運算"基底"(可以當做是元素)並無改變 所以頻率不會改變

要弄懂以上文字 需要下列知識
1. 微積分
2. 向量空間 (線性代數)
3. 複數
4. 傅立葉積分

如果僅有三角函數等知識 (例如高中課程)
就只能用您寫的證明法去證明 雖然殊途同歸
但是就是難懂了些

希望有點幫助囉~~