小弟不才
把答案翻譯成中文敘述看看
看了很久終於搞懂了
如有錯誤或不得體的部分請不吝賜教




取△ABC 內心 I，從 I 點分別對 A B和 AC 做垂線使其交點各為 D 和 E

(不用想太多，我們先假設 AC 是最長的邊，X 置於 AD 線段上， 雖然 P 點不一定會在△ABC內部，但下列的兩個例子會證明，注意 PX 是垂直於 AB 且交於 X )



Solution

在IP上取一中點O，從O點分別對AB和AC做垂線使其交點各為M和N ，則M和N也各為DX和EY的中點

從題目條件可以得到

AX ＝ 1/2(AB ＋ BC － CA)，AY ＝ 1/2 (BC ＋ CA － AB)

從 AD ＝ AE ＝ 1/2(CA ＋ AB － BC)

我們得到

BD ＝ AB － AD ＝ AB － 1/2(CA ＋ AB － BC)＝1/2(AB ＋ BC － CA) ＝ AX

BD ＝ AX

既然 M 為 DX 的中點，這也表示 M 為 AB 的中點。同理，N 也為 AC 的中點

既然 O 為 AB 和 AC 的中垂線交點，所以 O 即為△ABC外心



由於∠BAC ＜ 60 ，O 跟 A 位置都在 BC 的同一側且 ∠BOC ＝ 2∠BAC

我們可以接著算出∠BIC

∠BIC ＝ 180 － ∠IBC － ∠ICB ＝ 180 － 1/2∠ABC － 1/2∠ACB

＝ 180 － 1/2(∠ABC ＋ ∠ACB) ＝ 180 － 1/2 (180 － ∠BAC) ＝ 90 ＋ 1/2∠BAC


從∠BAC ＜ 60 得知 2∠BAC ＜ 90 ＋ 1/2∠BAC

i.e.， ∠BOC ＜ ∠BIC

從這可了解到 I 的位置會落在△BOC 內部，又 O 為 IP 中點

得知 p 位置必定會落在△BOC的外面且跟 O 在 BC 的同一側

因此

∠BPC ＜ ∠BOC ＝ 2∠BAC ＜ 120



Remark

假如一種假設是∠A比另外兩個角小更多的時候，可以清楚的知道 PX (或者假設 X ＝ P 點 )會經過外切圓(圓心 IC )的切線 AB

由於 2∠ACIC ＝ ∠ACB 且 BC ＜ AC

我們得到 2∠PCB ＞ ∠C

同理 2∠PBC ＞ ∠B

因此

∠BPC ＝ 180 － (∠PBC ＋ ∠PCB) ＜ 180 － 1/2(∠B ＋ ∠C) ＝ 180 － 1/2∠A ＜ 120

這樣，這題的特殊情形可以容易地被證明



因為樓主只有把數學算式PO上來
所以看的一頭霧水
既然是證明題,敘述部分千萬不可省略

另外感謝提供答案的joeywu大大