數學錯誤成因的探討

李芳樂

《初等教育學報四卷第一期77-82頁》

小孩子計錯了數, 應 該怎麼辦.應該懲罻他嗎? 大多數心理學家都不贊成這樣做.事實上, 識知心理學家認為, 犯錯是小孩子學習必經的階段. 唯有通過錯誤, 他才能學習到正確的途徑.因此, 當小孩子計錯數時, 我們應該要找出他們犯錯的原因, 加以引導, 使他糾正錯誤. 但是錯誤的原因是什麼呢?

疏忽與系統性錯誤

早期的心理學家認為錯誤可分為兩種: 一種是由於不小心做錯而產生的, 稱為疏忽(slips), 而另一種是由於學習了錯誤的觀念或程序而產生的, 稱為系統性錯誤(systematic errors). 由於slips被認為是由於注意力被分散所致 (Anderson,& Jeffies, 1985), 它的產生被認為是不規則的, 所以並沒有引起太大的注意. 而另一方面, system error 則被認為是由於某種錯誤知識,或是由於缺乏某些必須知識而引起的. 因此較受到研究者的重視.

研究者認為通過對系統性錯誤的研究, 可以加深對學習過程的認識, 由此認識, 又可以用來診斷學生的過錯, 以減少重複犯錯的可能性. 更可以從而發展成一套電腦診斷程式, 對學生作出個別輔導.

系統性錯誤的成因 -- 組成部份的錯誤

(一) 蟲 (Bug)

早期的心理學家認為計算程序通常由部分組成, 如果這些組成部分發生錯誤, 整個程序便發生錯誤. 持此意見的心理學家約可分為兩組. 一組由 布朗與布敦(Brown & Burton,1978) 等人組成. 他們的研究集中於小學生計算多項減數時所犯的錯誤, 首先他們將學生計算多項減數時的程序(procedure) 分為幾個組成部分, 或稱為副程序(subprocedure), 每個副程序又可再分為更低一層的副程序. 如此續分, 至不可分為止. 如將上一層之副程序稱為母程序及由其產生之副程序稱為子程序, 再用線將每一子程序連至其母程序, 則程序與各副程序之間組成一網絡 (見圖一), 而整個網絡便表了學生計算多項減數的過程.

布敦 Burton 等人於是根據此一網絡去分析學生計算時的錯誤. 他們先設計了一套電腦程式去模仿學生計算時的過程.經過試驗後, 發現這一程式果然能夠百分之一百準確地計算出任何一題多項減數的答案, 証明了電腦程式模仿人腦的可行性. 然後他們進一步嘗試在這程式中減去一或多個副程式, 或故意在某些副程式中製造錯誤, 這種做法,在電腦術語中稱為蟲(Bug), 意即電腦程式中的錯誤. 由於蟲的存在, 當然會令整個程式計算時發生錯誤. 但重要的是, 這些錯誤郤剛巧與學生的錯誤吻合. 換句話說, 學生所犯的錯誤, 都可以在電腦程式中模仿出來. 於是他們作出推論: 學生計算錯誤, 原因與機器犯錯一樣, 都是由於組成這個計算程序的某些部份缺失了或是發生錯誤所致.

根據此一理論, 他們繼續設計了一套電腦診斷程式來判斷學生的錯誤, 稱為Debuggy, 在這套程式中, 對每一題多項減數的問題,學生只需要輸入答案, 電腦便會故意在程序中某些副程序製造錯誤, 然後看看這個錯誤了的程序計算出來的答案是否與輸入的相同, 如果是的話, 便可以判斷出學生錯誤的原因. 他們發現, 根據這個方法判斷出來的結果與由人類專家判斷的百份之一百相同. 因此更証實了他們的想法.

(二) 誤則 (Mal-rule)

另一方面, 一些心理學家卻從一稍為不同的角度去研究學生的錯誤, 史利文等 (Sleeman & Smith, 1981) 收集了九十個學生解決代數方程式問題的過程來分析, 這些問題都是經過小心設計,為了使問題簡化,所有問題解決時都只須用到某一組特定的計算法則(rules). 經過分析後, 發現學生們除了使

用這些指定計算法則外, 還好像使用了錯誤的法則, 他們稱之為誤則(mal-rules) . 他們因此收集了廿三條誤則. 後來 另一位心理學家 美斯 (Matz 1982) 又補充了三條. 他們認為誤則可以視為對錯誤的一種解釋.

無論蟲(Bug)或是誤則(mal-rule)都是將原來的錯誤理解為其組成部分的錯誤, 驟眼看來, 好像對錯誤作出了解釋. 但事實上兩者都只能夠指出發生錯誤的部分. 而對蟲或誤則發生的的原因郤沒有提到. 因此, 都不能視作一種解釋錯誤發生的理論.

組成部份發生錯誤的成因:

修補理論 (Repair Theory)

心理學家於是嘗試對蟲或誤則的發生作出解釋. 第一種理論稱為修補理論(Repair Theory), 由 布朗等人 (Brown and VanLehn) 於一九八零年提出. 他們認為在學生解答問題過程當中, 如於某一部分遇到困難, 稱為僵局 (impasse), 在這種情況下, 他們通常不會立刻放棄, 而會對此難題作出一種解難過程 (problem solving process) 去找出一個自己認為比較接受的解決辦法. 這個過程, 就稱為修補 (Repair).修補成功 (無論錯誤與失敗), 這個修補辦法便會保留而成為一條法則,而如果修補是錯誤的話, 則蟲或誤則便會產生, 而整個解答過程便發生錯誤.

修補理論雖然好像對錯誤的發生作出了解釋, 但對學生如何修補, 他們只提出了幾個模糊的原則, 並不能有效地列述出修補的過程, 這種解釋並不詳細.

錯誤類化 (misgernalization)

美斯 (Matz ,1982) 提出一套與別不同的理論, 他認為許多誤則都是由於學生對正確的規則作出錯誤類化(misgeneralization)或過份類化(overgeneralization) 而產生的. 學習代數的學生, 當學習一種新的計算方法時, 有時會由於能力有所不逮, 或稱為識 知重擔 (cognitive load) 的關係, 常會退回到沿用舊的方法去解決新問題. 明顯的例子是, 當學生最初學習乘數時, 常會應用加數的方法於乘數中. 原因可能是由於將乘法歸於與加法一類. 所以以為計算時適用於加法的規則亦應適用於乘法中, 如下例:

A(B+C)=AB+AC

是對的, 但當學生見到A(BC)一式時, 便往往將 BC 誤為與 A(B+C) 一般, 可以將A 同時分配到 B 及 C 去, 而得出

A(BC)=ABXAC

因此引起錯誤. 而這種現象, 便稱為錯誤類化. 美斯 (Matz) 認為, 許多錯誤都是這樣產生的. 事實上, 當學生學習計算時, 有些時候, 教師並不一定使用演繹教學法 (Deductive method), 教師並不一定明確指出規則, 而要學生跟隨 , 或者即使教師明確的教授了規則的, 但學生郤學習不到. 另一方面郤使用了推論法學到了這個規則.

事實上, 推論法是一種重要的學習方法, 許多學生應用的規則, 都是這樣學習得來的, 學生從教師舉出的例子, 或甚至從自己找到的例子中推論出法則. 推論法是一種重要的學習方法, 學生往往從推論中得到成就. 而推論法亦因此成為學生的一個重要的學習策略.類化是推論的一種, 由於對推論的倚賴, 當推論發生錯誤時, 錯誤類化便可能發生, 而因此產生了誤則.