只要樓主你是真心願意負起責任, 其實不必太擔心刑責的問題.
對方起訴後, 只要你報告檢察官, 你不是不負責任, 只是跟對方要求合理的理賠依據而已, 對方又不願意提供, 只憑一張嘴就要37萬應該不合法吧. 你自己也是小市民一個, 並不是有錢人, 不過有正當工作及收入, 也沒有要跑掉, 已經夠表現出誠信了.
那麼一般檢察官對於這類小案, 又沒有真的什麼惡性重大的情況, 再加上過失致傷是告訴乃論罪, 都會施壓要雙方和解(不過不會介入), 只要你表現誠意及努力和解了以後, 應有機會爭取到緩起訴, 那麼連前科都不會有. 就算有起訴, 了不起的刑責也可以易科罰金(金額一定遠低於對方所要的), 甚至緩刑, 所以你不必因為對方揚言告你刑事就讓步.