之前我在板上曾貼過一篇”抽鑰匙”的機率問題，茲重列如下：

題目一：
「有三把鑰匙，其中只有一把是對的。現在甲先抽，但放著，還不知道對錯。乙後抽，並立刻拿去試，而證明是錯的。現在試問甲應不應該換那第三把沒人選的鑰匙？也就是請問，哪一把鑰匙正確的機率比較大？」

我覺得這題真是經典，因為題目很短，看似簡單，但連大學副教授都會被騙。
在我說明我個人對這題的看法前，我先再另外列一個”相似題”於下，請大家想想看和本題有何不同。

題目二：
「有三把鑰匙，其中只有一把是對的。現在有甲乙丙三個人，三個人抽完後，乙拿他的鑰匙去試，並立刻證明是錯的。現在試問甲應不應該和丙換鑰匙？也就是請問，甲和丙的鑰匙哪一把正確的機率比較大？」

我的看法如下：

『重點一是：樣本空間是否也經發生了改變。』

如果：
1.甲乙丙三人”先抽完鑰匙”，乙”再公佈”他那把是錯的（題目二），則此時因為甲乙丙三者在隨機抽取時，是處在同一個樣本空間裡（樣本數為三），所以答案就會如很多人所算的，各自正確的機率是1/2，即”換不換沒差”。

2.但若今天是”甲乙兩個人先抽完，並且乙公佈他那把是錯的”，此時”丙最後走進來拿走第三把沒人選的鑰匙”（如題目一），則，甲乙在隨機抽鑰匙時，就是位在原先第一個樣本空間裡（樣本數有三），而丙甲就位在第二個樣本空間裡（樣本數只有二），此時因為甲手上那把是在”三選一”的情況下隨機抽出的，所以正確的機率就是1/3，而丙那把是在樣本數只有二的空間裡遺留下來的，但：

『重點二是：雖然在乙公佈了他的鑰匙後，丙甲已經位在第二個樣本數只有二的空間裡，但此時的情況並不是如許多人所想像的”二選一”。』

『什麼叫”二選一”？在毫無資訊的情況下，”選”，即有”隨機抽”的意思吧？』

但是，甲手上那把是在第一個樣本數為三的空間裡隨機抽出來的，而遺留下的那把卻是在樣本數為二的空間裡（可以視為”抽”出來），所以此時的情況（從丙甲兩把鑰匙選出一把），因為並非毫無資訊，所以當然不是”隨機抽”了。
既然甲手上那把在第一個樣本數等於三的樣本空間裡隨機抽出時，已經決定的正確率只有三成，那還會和第二個樣本空間裡的丙手上那把的正確率一樣，各50%嗎？

所以在題目一裡，最後答案才會是，甲手上那把正確率是1/3，而沒人選的第三把正確率則是2/3，所以甲應該換。

接下來我回答幾個常見的爭議和質疑：

1.究竟乙是故意抽錯還是隨機抽錯有沒有差別？
答案是，肯定沒差。
原因是，甲乙在作隨機抽取時，是同位在第一個樣本數為三的樣本空間裡。當我們一開始估算甲抽中的機率是1/3時，其實就已經假設”乙也是隨機抽取的”。既然”乙是隨機抽”，這點本來就是我們一開始的假設，那到最後再去討論”乙是故意抽還是隨機抽”還有什麼意義呢？
或許又有人要再反回來問：「那如果一開始我們就假設，乙會故意抽錯呢？」問題是，這種假設本身就不合理。除非是作實驗，乙才會故意去抽錯的，又除非甲能預卜先知，否則他如何肯定之後乙”一定會”抽錯？
但就題意來看，我們可以肯定，那絕不是在做實驗，且甲更不可能有預卜先知的能力。

2.又有人說，雖然一開始甲抽到的機率是1/3，但隨著得到的資訊愈多（甲確知乙抽到錯的鑰匙），機率值就應該修正，也就是甲手上那把正確的機率應該修正到1/2。
這個問題的答案，其實和之前是一樣的原因，就是”甲確知乙抽到錯的鑰匙”的這個資訊，其實一開始就隱含在我們的假設裡，它並不是一個新的資訊。
其實我們一開始就已經假設，”乙有可能抽對，也有可能抽錯鑰匙”，所以我們才會說，”甲抽到對的鑰匙機率只有1/3”，而不是0（乙一定會抽對鑰匙），或1/2（乙一定會抽錯鑰匙）。
換言之，”乙抽到錯的鑰匙的這個事實”，等於只是證明”我們一開始的假設是正確的”，它本是屬於我們假設的一部分，根本不是”新的資訊”，所以也就不能回頭再影響一次甲抽中鑰匙的機率。
關於”得到的資訊愈多，估算的機率值就會愈精準”這點，我有找到一個介紹何謂”條件機率”的網頁，各位可以仔細比較他的前言所描述的情況和我們這題抽鑰匙的情況有何不同，應該就會明瞭了。

http://probstat.nuk.edu.tw/content_new/c1-3.htm

以上感謝"8:5" 兄私下和我詳細討論，我才能完全搞懂這題，謝謝。: )