引用:
Originally posted by 8:5
因為那篇已經太長了，我想有興趣的人可能沒有耐心看完所有人的論述。
所以，另外開一篇，不過，在討論上面這個問題之前，先來討論比較易懂的問題。
認為換不換沒差 (都是 1/2) 的人，請特別思考問題 (1)。
認為換了比較好 (原本是 1/3，換了變 2/3) 的人，請特別思考問題 (2)。
(1)
有三張撲克牌，裡面有一張 Ace，我跟您比賽抽到 Ace 的人贏，
您先抽了一張，在您還沒看的時候，我就把剩下兩張都拿走，
您就說：「這樣不公平」，於是我就把手中的牌拿起來看了一下，
丟下一張不是 Ace 的牌，然後說：「現在一人一張牌，公平了吧？」
請問您獲勝的機率是多少，您覺得公平嗎？
(2)
有三張撲克牌，裡面有一張 Ace，我跟您比賽抽到 Ace 的人贏，
您先抽了一張，在您還沒看的時候，我就把剩下兩張都拿走，
您就說：「這樣不公平」，於是我就隨意丟下一張牌 (兩張牌都還沒看)，
然後說：「現在一人一張牌，公平了吧？」我想這時您會同意這是公平的。
但在雙方看手上的牌之前，決定先翻開桌上的牌，發現不是 Ace。
請問您獲勝的機率是多少，您覺得公平嗎？
上面兩個問題最後的狀況都一樣：
桌上打開一張不是 Ace 的撲克牌，我跟您手中各拿一張牌。
但答案就是不一樣。差別在哪？就差在我有沒有看牌了。
所以呢？
在 c_g_h1121提出的命題裡，隱含著甲乙皆不知正確的鑰匙是那一把的意思，
所以答案就是「換不換沒差」。
至於台大數學系的那篇文章，隱含著主持人故意打開一扇關著山羊的房間的意思，
所以答案就是「換比不換好」。
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不對。你一直都忘記了，
「題目一開始就已經限定，乙只能抽到錯的鑰匙。」（或者應該是說，甲是在確定乙抽的鑰匙是錯的後，才開始計算第三把鑰匙是正確的機率。）
所以其實，
「就算乙是不小心（不知情）抽到錯的鑰匙，但只要甲也知道乙抽的鑰匙是錯的後，那這時的情況，就和乙是故意（知情）而抽到錯的鑰匙是等價的了。」
這樣說好了，以你的例子來說。
今天我先抽一張牌，然後剩下的兩張牌歸你。我一開始就抽中Ace的機率是1/3，剩下的2/3可能性則在你那兩張牌那邊。
這時，你開始要丟掉你那兩張的其中一張。但請注意，
「就算讓你看牌好了，你也只能保留不是Ace的那張，而一定要把Ace給丟掉！」
為什麼？因為題目已經告訴我們事實－乙並沒有抽對鑰匙，也就是你絕不能抽到Ace！題目的條件限制，就已經把你鎖死了，所以讓不讓你看牌根本沒差，你只要選Ace，就與題意不符。
所以這樣說回來，這場賭局表面上你是拿了兩張牌，但因為題目限制，使得你卻只能保留不是Ace的那張（如果我真的沒抽到Ace的話），所以我最多和你打和，但絕對不會輸。: )
亦即回到原題目裡，
一開始三把鑰匙，只有一把是對。甲先抽，乙第二抽，還剩第三把沒人選，所以各自中獎的機率是1/3，這沒問題。
但甲先抽，亦即會有2/3的可能性，是對的鑰匙在乙或沒人選的那把那邊。但這時乙抽的鑰匙又被證實是錯的（等於是幫甲忙，把第二把錯的找出來，而甲也絕不可能再去選乙選的那把錯的鑰匙（當然也不能選，因為鑰匙不放回）），那剩下沒人選的那把正確的機率，自然就是1/3 （沒人選的那把鑰匙原先正確的機率）+ 1/3（甲已經知道乙選的是錯了，所以絕不會去選，也因為鑰匙不放回，所以不能選的乙的那把） = 2/3了。