引用:
Originally posted by 舞動的夜
那怎麼證明其餘根號3..5..6..7..8
我....
也是用ㄧ樣的方法嘛??
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前面網兄的PO文(不包含在下)，還看不懂啊...
翻譯一下好了...
引用:
假設 根號2 為有理數。
By definition，有理數可寫為 a/b(最簡化)。So 2 = (a^2 / b^2), 2b^2 = a^2。So 2 | a^2。但 2 為質數，所以 2 | a。所以 a = 2c(c 屬於 Z)。將 a = 2c 代入原式，2 = (2c)^2 / b^2，So 2b^2 = 4c^2, b^2 = 2c^2。So 2 | b^2, so 2 | b, so b = 2d (d 屬於 Z)。
將 a, b 代入原式 2 = a/b => 2 = 2c/ 2d，並非最簡式。與假設矛盾，所以 根號2 為無理數。
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假設 根號2 為有理數。
有理數可以寫成最簡約分的式子，就是a/b的形式，已經約分過了，所以a、b互質。
根號2=(a/b),所以2=a平方/b平方,移項一下...
2乘b平方=a平方, 2可以整除a平方, 但2為質數, 所以2整除a, a可寫成2c, c屬於整數(也就是Z)
將a=2c 代入原式，2 = (2c)平方 / b平方，所以2b平方= 4c平方, b平方=2c平方。
所以, 2可整除b平方，因為2為質數, 所以2整除b, b可寫成2d, d屬於整數
因為a=2c, b=2d, 發現a和b矛盾→←,因為a, b是互質的。
所以，假設根號2為有理數失敗，根號2為無理數。
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同理，3、5、7一樣可照上述得證，不必再寫一遍了，
根號6=根號2乘根號3，一樣得證。(因為事先已證明根號2、根號3為無理數，直接拿來用)
，所以，無理數乘無理數還是無理數。
根號8=根號2乘根號2乘根號2，一樣得證。(事先已證明根號2為無理數)