假設 根號2 為有理數。

By definition，有理數可寫為 a/b(最簡化)。So 2 = (a^2 / b^2), 2b^2 = a^2。So 2 | a^2。但 2 為質數，所以 2 | a。So a = 2c(c 屬於 Z)。將 a = 2c 代入原式，2 = (2c)^2 / b^2，So 2b^2 = 4c^2, b^2 = 2c^2。So 2 | b^2, so 2 | b, so b = 2d (d 屬於 Z)。

將 a, b 代入原式 2 = a/b => 2 = 2c/ 2d，並非最簡式。與假設矛盾，所以 根號2 為無理數。