純數運算和代數運算的差異....
 

話說今天我媽的朋友拿了一個四則運算題目問我，

說是她女兒學校老師出的，

說答案好像有爭議，想看看我算的答案為何.....

題目如下：

6÷2(1+2)＝？


當下我回她如果題目真的是這樣出，此題題目出的不好有點怪怪的

答案會有兩個：1跟9，

這兩個答案其實都可以算對........，

不過我認為1這個答案比較好........


那位媽媽說學校老師給的標準答案是9，

1這個答案是錯的..............


我回他這種式子的寫法，把純數的運算式和代數的運算式寫法混在一起

容易造成計算上的混淆，



為什麼會造成計算上的混淆，請容我稍後再提，

我們先複習一下純數四則運算的基本法則


基本法則：

1.由左而右進行計算

2.先乘除後加減

3.誇號內的運算最優先




上面的三條法則瞭解後，我們再來看看代數的運算規則



代數上有一個很特別跟純數不同的地方，

純數的運算中並沒有將乘號省略的規則，

但是代數上有，

因此我們會將數字和跨號，或兩組誇號間，數字和代數間的空白視為乘號

例如：

2（x+y)=2*(x+y)

(x+y)(a+b)=(x+y)*(a+b)

3a=3*a



此處要注意的事，

這個空白符號（被省略的乘號）雖然具有代替乘號的意義，

但是它的運算優先權是比誇號小但比一般尚未省略的乘號更高，


所以在代數上的四則運算法則又多出一條，變為


1.由左而右進行計算

2.先乘除後加減

3.誇號內的運算最優先

4.空白符號視為乘法，運算優先權次之



因此在代數的運算上：


6÷3a＝6÷（3a)＝6÷（3*a)

6÷2（x+y)=6÷[2（x+y)]＝6÷[2*（x+y)]

6÷(x+y)(a+b)=6÷[(x+y)(a+b)]=6÷[(x+y)*(a+b)]



瞭解了這點以後，我們回過檢討一下原本題目

6÷2(1+2)＝？

這題到底算是純數運算還是代數運算？


如果是代數運算那麼根據代數運算的法則，


3.誇號內運算最優先

6÷2(1+2)＝6÷2(3)


4.空白符號視為乘法，運算優先權次之

6÷2(3)=6÷[2(3)]=6÷[6]


ANS：6÷2(1+2)＝1



如果是純數運算不好意思，請問一下2(1+2)這個部分是什麼？

好吧，假設純數也有省略乘號的習慣，

所以我們看到空白，自己腦補一個乘號進去：


6÷2(1+2)＝6÷2*(1+2)


3.誇號內運算最優先

6÷2*(1+2)＝6÷2*(3)

1.2由左至右先乘除後加減

6÷2*(3)＝3*(3)＝9




不過這裡有一個很弔詭的地方，

如果自己腦補一個乘號進去，算出答案是9的人

我不懂未何看到代數運算6÷3a時

這些人算出的答案就不會變成

6÷3*a＝2*a=2a



這種看到空白腦補乘號的方式，算出9的人

反而自相矛盾................

一下遵守a法則，下次運算又遵守b法則



數學是非常嚴謹的，邏輯上不容許有任何瑕疵跟矛盾的.........

我的看法是認為算出1的人在邏輯上比較一致，

算出9的人，可能不小心把純數運算和代數運算混在一起了


如果此題是要求純數運算，

題目應改為6÷2*(1+2)才恰當



雖然跟那位媽媽解釋了許久我的想法，不過他似乎仍不太明白

還是覺得老師給的標準答案應該不會錯



如果有看今天新聞的人，

應該知道此題就是今天新聞報很大，新聞上很多人算錯的那一題，

不過當時我人在外面還不知道新聞有報，

看到新聞上很多國小老師指出所謂"正確的算法"和"唯一的答案"，

還說會加強教育部學生"由左而右進行計算"的概念等言論，

反而忽略題目出的不好的問題................


新聞上某成大數學系教授馬上就指出題意不清的錯誤，

可惜新聞並沒有給那位教授進一步解說機會......


回到家也瀏覽幾個網站關於此問題的討論串

也看到那位教授被人酸的言論............


如果記者能深入瞭解，在新聞中多多解釋

而不是找一堆老師計算，告訴9才是正確答案

這個新聞會更有價值，

也可以讓大家明白癥結點在哪................

這樣不就更富有教育意義？

解釋的很精闢!

但電視上的專家 好像都是以你指的純數學運算去解這題目

沒有人提出代數運算的方式


:confused:

擬出這種算式的目的,
不是為了考驗學生.
只是單純為了製造話題.


因為之前新聞就提過一個同樣陷阱的題目了.

上次那一題就說啦
題目本身有瑕疵
不然要搞一堆問題可以玩死人
只是這樣有意義嗎?

講解得很清楚
這題目就是故意弄下個陷阱
以純數跟代數混淆的方式製造話題

所以我一直強調
重點不是1或9，因為這題目是出題者故意混淆數學式子
重點是很多人被騙了，反而一直幫出題者說話
跟那些被詐騙集團騙了錢，還一直相信詐騙集團的人一樣
這才是整個社會最大的問題

我從小到大的印象是"代數"中不會出現"÷"這個符號
我認為這就是關鍵
因為"÷"的表現式在代數中完全可以用乘以倒數取代
簡單的說沒有除法的概念
除法可以視為乘法的一種

另外有些人認為數學是很嚴謹的
所以本題一定有一個答案是正確的
其實這是不對的
數學很嚴謹
但不表示數學符號的"表示法"有一個絕對嚴謹的標準規則

就像圍棋一樣
目前規則都還沒統一

數學很嚴謹
但出題的人不嚴謹，故意弄個混淆的式子出來
看題的人也不嚴謹，看不出題目中有問題的地方

代數上多數習慣用分數來表示除法

用加負數表示減法........


作純數運算的時候，我也是表較習慣這種表示方法

看到除法全部改為成分數

遇到減法全部把他變成加負數..........

按個讚
:D

計的小時候也有說過小跨弧外的數子可以先算進小跨弧內

那 6/2(1+2) = 6/(2*1+2*2) = 6/(2+4) = 6/6 =1

當然若以樓主說的的純數運算答案就是9了

真的是 亂阿 :laugh: :laugh: :laugh: :laugh: :laugh:

另一點值得一提的是
大部分計算機算出來的都是9
這應該是程式在實做時比較容易的緣故

大部分實作計算機的程式設計師一定會發現這問題
會以較容易實作(從左到右)的方式去寫程式
但不表這樣就是一定對的