| LALALOVE |
2012-10-10 11:49 AM |
引用:
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作者向下沉淪
是和韓信分油的故事差不多.
但無論是在國小學過.或在電影院看見布魯斯威利努力拼湊出4加侖的水.或在面試時題目出過.
大多數人只知其然不知其所以然.只記得步驟而忽略其背後的數學意義.
而優秀的數學學習者不僅會背公式.還會導證公式以及其應用.
就以電影中的謎題來舉例好了~
Q:"給一個3加侖和5加侖的桶子.要求在5加侖的桶子中裝4加侖的水"
A:設3加侖的桶子使用x次.5加侖的桶子使用y次.然後拼拼湊湊要製出4加侖的水.
題目意即為3x+5y=4. x.y均為整數.
首先由"方程式ax+by=c有整數解的充要條件<=>(a,b)|c.即係數a.b的最大公因數需為係數c的因數"
得知方程式3x+5y=4整數解存在.也就是說4加侖的水是可以拼湊出來的.
隨便心算也可算出x=3.y=-1.
意即3加侖的桶子會加滿使用3次.5加侖的桶子會倒光使用1次.
怎麼做呢?------>
3加侖的桶子加滿水倒入5加侖的桶子內.(3加侖的桶子加滿使用第1次)
3加侖的桶子加滿水繼續倒入5加侖的桶子內至5加侖的桶子全滿.(3加侖的桶子加滿使用第2次)
此時3加侖的桶子內剩下1加侖的水.而5加侖的桶子內則是滿滿5加侖的水.
然後把5加侖的桶子內的水倒光.(5加侖的桶子倒光使用1次)
把3加侖的桶子內剩下1加侖的水倒入5加侖的桶子內.
最後3加侖的桶子加滿水再倒入5加侖的桶子內.(3加侖的桶子加滿使用第3次)
所以最後5加侖的桶子內就有4加侖的水了.
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那麼這是否為唯一解呢?當然不是!!
回到方程式3x+5y=4.
隨便心算可另算出x=-2.y=2.
意即3加侖的桶子會倒光使用2次.5加侖的桶子會加滿使用2次.
怎麼做呢?------>
5加侖的桶子加滿水倒入3加侖的桶子內至3加侖的桶子全滿.(5加侖的桶子加滿使用第1次)
此時5加侖的桶子內剩下2加侖的水.而3加侖的桶子內則是滿滿3加侖的水.
然後把3加侖的桶子內的水倒光.(3加侖的桶子倒光使用第1次)
把5加侖的桶子內剩下2加侖的水倒入3加侖的桶子內.
再把5加侖的桶子加滿水.(5加侖的桶子加滿使用第2次)
此時3加侖的桶子內有2加侖的水.然後把5加侖的桶子內的水倒至3加侖的桶子全滿.
最後把3加侖的桶子內的水倒光.(3加侖的桶子倒光使用第2次)
就只剩下5加侖的桶子內有4加侖的水了.
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怎樣?~分析的不錯吧!
連我自己都想幫自己按個讚了!
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感謝沉淪阿姐的分析講解，令小弟得窺數學殿堂之奧妙，但小弟仍有一事不明，還請沉淪阿姐撥冗回覆
依上面的分析來看，3x+5y=4 的整數解即為此題的答案。
但這個二元一次方程式有無限多組整數解，除了（3，-1）和（-2，2）這兩組解之外，其餘各組解似乎都難以操作，例如（8，-4）和（-12，8）
所以，是我誤解了你的分析，還是（8，-4）和（-12，8）為可操作之解，抑或是以3x+5y=4 作為此題的方程式時，還須加上限制式？
懇請冰雪聰明的沉淪阿姐為小弟釋疑 :D |
