作者joe2001

更正，不是收斂。也謝謝大家的指導。

我查到的是：

這是一個發散的數列，在傳統意義上並不收斂。
但如果你想考慮一些非傳統意義上的事情，尤其是在物理這個學科遇到的問題，這個問題還是有意義的。

要處理這種問題，一般是要把這個問題拓展到複數域中，這個問題就變成了
(1+0i)+(-1+0i)+.....
即考慮\sum_{n=0}^{\infty}{((-1)^n+0i)}
而\sum_{n=0}^{\infty}{((-1)^n+0i)} =\sum_{n=0}^{\infty}{e^{in\pi }}=\frac {e^{i*0*\pi}}{1-e^{i\pi}} =\frac{1}{1-(-1)}=\frac{1}{2}
於是得到了在複數域上的答案，0.5

因為上面的方程式文字敘述很難看得懂，方程式的圖片如下：

作者Crazynut

很美，但收歛的很慢，所以很少人認真地用它來求π。

它是Gregory在1671年發表的，原始式是：
arctan✗=✗-(✗^3)/3+(✗^5)/5-(✗^7)/7+…

以✗=1代入(Gregory沒這麼作)左邊得到π/4，右邊=1-1/3+1/5-1/7+…
兩邊乘以4即得上式。

萊比尼茲在1674年發現特殊情形，並於1682年發表，所以這個級數有時也被稱為萊比尼茲級數。

不過"π的故事"一書作者，還是將這個榮譽歸給Gregory。

您討論的情形叫做格蘭迪級數 ("https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%A0%BC%E8%98%AD%E8%BF%AA%E7%B4%9A%E6%95%B8")，維基上略有介紹。

在純數的理論上，一般都同意它並不收歛。但在物理、工程上，可能是有意義的。有段時期工程師自己發明一些無法證明的公式應用(他說：證明在實驗室中)，令正統數學家惱怒的是，這些公式計算結果居然不會出錯！"π...

作者奶油銓

請問您有檢查過這個複數級數的收斂條件嗎 ?

作者Crazynut

嘿……第二頁的Gregory級數不小心key錯了，它當然是一正項一負項。

π=4(1-1/3+1/5-1/7+……)

希望別誤導了喜愛數學的朋友們，抱歉。

"π的故事"是一本很有趣的書，我從圖書館看到後就念念不忘，還好出社會後還買得到。

同類型的書還有"量子的故事"，"e的故事"(自然對數底)，一併推薦。