求救!!證明根號2.3..5...6...7....and8為無理數!!(急)
 

求救!!
證明根號2....3..5.....6...7....8為無理數!!
我...的期末考題...............
明天就要考了...急!!:nonono: :nonono:
謝謝各位!!

請用反證法..........

可以給多一點點提示阿!!:( :(

http://www.chinaschool.net/mid_edu/...answer7.18.htm#
rongshihong同学提问（数学）
1.如何证明根号2是无理数？

rongshihong同学提问

1.如何证明根号2是无理数？

证明：用反证法。

　　　设是有理数，则可令＝(n，m∈N，n＞1，

　　　n、m互质)

　　　则()2＝2∴m2＝2n2，故m2能被2整除，即m2是偶

　　　数(若m＝2k＋1，则m2＝2(2k2＋2k)＋1也是奇数，

　　　这与m2是偶数矛盾)

　　　设m＝2p，则4p2＝2n2n2＝2p2即n为偶数，于是

　　　n，m有公约数为2，就不是既约分数,这与假设矛

　　　盾，所以＝不能成立。故不有理数，所以

　　　是无理数。

假設 根號2 為有理數。

By definition，有理數可寫為 a/b(最簡化)。So 2 = (a^2 / b^2), 2b^2 = a^2。So 2 | a^2。但 2 為質數，所以 2 | a。So a = 2c(c 屬於 Z)。將 a = 2c 代入原式，2 = (2c)^2 / b^2，So 2b^2 = 4c^2, b^2 = 2c^2。So 2 | b^2, so 2 | b, so b = 2d (d 屬於 Z)。

將 a, b 代入原式 2 = a/b => 2 = 2c/ 2d，並非最簡式。與假設矛盾，所以 根號2 為無理數。

畫虎爛一下:p
利用質數不可分割的性質。
任何質數開根號皆為無理數。
2屬於質數，得證。

好抽象阿........
有點難...
我程度不太好.......:confused:

那怎麼證明其餘根號3..5..6..7..8
我....:( :(
也是用ㄧ樣的方法嘛??

:shock: 前面網兄的PO文(不包含在下)，還看不懂啊...
翻譯一下好了...

假設 根號2 為有理數。
有理數可以寫成最簡約分的式子，就是a/b的形式，已經約分過了，所以a、b互質。
根號2=(a/b),所以2=a平方/b平方,移項一下...
2乘b平方=a平方, 2可以整除a平方, 但2為質數, 所以2整除a, a可寫成2c, c屬於整數(也就是Z)
將a=2c 代入原式，2 = (2c)平方 / b平方，所以2b平方= 4c平方, b平方=2c平方。
所以, 2可整除b平方，因為2為質數, 所以2整除b, b可寫成2d, d屬於整數
因為a=2c, b=2d, 發現a和b矛盾→←,因為a, b是互質的。
所以，假設根號2為有理數失敗，根號2為無理數。
------------------------------------
同理，3、5、7一樣可照上述得證，不必再寫一遍了，
根號6=根號2乘根號3，一樣得證。(因為事先已證明根號2、根號3為無理數，直接拿來用)
，所以，無理數乘無理數還是無理數。
根號8=根號2乘根號2乘根號2，一樣得證。(事先已證明根號2為無理數)

前面的証明是沒有問題啦,但是 根號6,根號8利用無理數乘無理數的証明方法
有邏輯上的錯誤.
例如 (根號4) =2=(根號2)*(根號2); 兩個無理數相乘,並無法保證結果是無理數.
所以囉, 你的証明根號6,根號8是無理數的方法是錯誤的 :P

唸書的時候, 被數理邏輯苦毒了好幾個學期...