為什麼微分後的導數，剛好是函數的某點切線斜率？
 

我已經問過許多高微拿高分的同學，得到的答案都是 - 這是證明的結果。

但我不是問這個，證明我懂得。

以 y= x^3 這個函數為例，
我的意思是，

為什麼 x*x*x ，他的某點以極限逼近的改變率，剛好是 x+x+x ?

為什麼有這麼巧的事情？

恕我愚昧，微分和導數有何不同？微分的導數指的是二階導數？
x^3的導函數應該是3x^2？

抱歉，少寫了。

改成：

以 y= x^3 這個函數為例，
我的意思是，

為什麼 x*x*x ，他的某點以極限逼近的改變率，剛好是 x^2+x^2+x^2 ?

為什麼有這麼巧的事情？

https://www.youtube.com/watch?v=S0_qX4VJhMQ
或許這個課程章節可以解答你的問題

https://www.youtube.com/watch?v=jINSkroLaMM

這個....

謝謝大家的分享，時間不夠，我先看第一個影片。第二個要明天才能看。

第一個影片，我知道他想用幾何來表達。

但是，一個立體體積的變化，剛好等於三個面的面積變化的和？
其實不正確，因為他的圖中，三個面積，其實要算是體積的，只是有一邊是1。而且他把某個微小值捨去。

對這個方程式來說，

X^3 的導數，剛好等於 X^2+X^2+X^2。不多不少，沒有捨去的微小值。

還是我看錯他的說法？

應該說導數的「定義」，是斜率公式取極限

y = f(x) = x^3
f'(x) = lim Δy / Δx

Δy / Δx
= [(x+Δx)^3 - x^3] / Δx
= [ x^3 + 3x^2 Δx + 3 x (Δx)^2 + (Δx)^3 -x^3 ] / Δx
= 3x^2 + 3 Δx + (Δx)^2

取極限 Δx 趨近於零，就只剩下第一項。

3x^2 + 3 Δx + (Δx)^2 第二項少打了 x

3x^2 + 3 x Δx + (Δx)^2

首先函數微分之後 是導函數，導函數代入值後，才會得到函數在該點的導數。

另外 導數跟斜率 為什麼 剛好一樣，
我認為只是這兩者的定義剛好一樣而已，
只不過 導數是用在一般化的情況下，
斜率則專指在幾何上的意義。

我看了上面幾個教學視頻 還有之前我找給我兒子看的幾個視頻

我真心覺得現在傳統的教學方式應該要改一改了

教的可能比一堆老師教的都仔細